「制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法」の版間の差分
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93 行
b_{31}(t) & b_{32}(t) & b_{33}(t) & \cdots & b_{3n}(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{
\end{pmatrix}</math>}}
に対して，この行列の微分あるいは積分を，その成分の微分あるいは積分を成分とする行列と定義する．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\frac{dB(t)}{dt} := \begin{pmatrix}
\frac{db_{11}(t)}{dt} & \frac{db_{12}(t)}{dt} & \frac{db_{13}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{1n}(t)}{dt} \\
\frac{db_{21}(t)}{dt} & \frac{db_{22}(t)}{dt} & \frac{db_{23}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{2n}(t)}{dt} \\
\frac{db_{31}(t)}{dt} & \frac{db_{32}(t)}{dt} & \frac{db_{33}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{3n}(t)}{dt} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\frac{db_{m1}(t)}{dt} & \frac{db_{m2}(t)}{dt} & \frac{db_{m3}(t)}{dt} & \cdots & \frac{db_{mn}(t)}{dt}
\end{pmatrix}</math>}}
あるいは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\int_a^bB(t)dt := \begin{pmatrix}
\int_a^bb_{11}(t)dt & \int_a^bb_{12}(t)dt & \int_a^bb_{13}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{1n}(t)dt \\
\int_a^bb_{21}(t)dt & \int_a^bb_{22}(t)dt & \int_a^bb_{23}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{2n}(t)dt \\
\int_a^bb_{31}(t)dt & \int_a^bb_{32}(t)dt & \int_a^bb_{33}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{3n}(t)dt \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\int_a^bb_{m1}(t)dt & \int_a^bb_{m2}(t)dt & \int_a^bb_{m3}(t)dt & \cdots & \int_a^bb_{mn}(t)dt
\end{pmatrix}</math>}}
と約束する．この約束に従えば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\mathcal{L}[B(t)] := \begin{pmatrix}
\mathcal{L}[b_{11}(t)] & \mathcal{L}[b_{12}(t)] & \mathcal{L}[b_{13}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{1n}(t)] \\
\mathcal{L}[b_{21}(t)] & \mathcal{L}[b_{22}(t)] & \mathcal{L}[b_{23}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{2n}(t)] \\
\mathcal{L}[b_{31}(t)] & \mathcal{L}[b_{32}(t)] & \mathcal{L}[b_{33}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{3n}(t)] \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\mathcal{L}[b_{m1}(t)] & \mathcal{L}[b_{m2}(t)] & \mathcal{L}[b_{m3}(t)] & \cdots & \mathcal{L}[b_{mn}(t)]
\end{pmatrix}</math>}}<br />
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\mathcal{L}^{-1}[B(t)] := \begin{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}[b_{11}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{12}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{13}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{1n}(t)] \\
\mathcal{L}^{-1}[b_{21}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{22}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{23}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{2n}(t)] \\
\mathcal{L}^{-1}[b_{31}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{32}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{33}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{3n}(t)] \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}[b_{m1}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{m2}(t)] & \mathcal{L}^{-1}[b_{m3}(t)] & \cdots & \mathcal{L}^{-1}[b_{mn}(t)]
\end{pmatrix}</math>}}<br />
は必然である<ref>
:<math>\begin{pmatrix}
\int_0^{\infty}b_{11}e^{-st}dt & \cdots & \int_0^{\infty}b_{1n}e^{-st}dt \\
\vdots & & \vdots \\
\int_0^{\infty}b_{m1}e^{-st}dt & \cdots & \int_0^{\infty}b_{mn}e^{-st}dt
\end{pmatrix}
=
\int_0^{\infty}\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}e^{-st}dt</math><br /><br />
また，<math>b_{11} \sqsubset B_{11}, \cdots, b_{mn} \sqsubset B_{mn}</math> とおけば，<br /><br />
:<math>\mathcal{L}\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}</math><br /><br />
:<math>\therefore\mathcal{L}\begin{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}B_{11} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}B_{m1} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{mn}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}</math><br /><br />
両辺に左から <math>\mathcal{L}^{-1}</math> を働かせて，<br /><br />
:<math>\mathcal{L}^{-1}\cdot\mathcal{L}\begin{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}B_{11} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}B_{m1} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{mn}
\end{pmatrix}
=
\mathcal{L}^{-1}\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}</math><br /><br />
:<math>\therefore
\begin{pmatrix}
\mathcal{L}^{-1}B_{11} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
\mathcal{L}^{-1}B_{m1} & \cdots & \mathcal{L}^{-1}B_{mn}
\end{pmatrix}
=
\mathcal{L}^{-1}\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn}
\end{pmatrix}</math><br />
</ref>．
また <math>A(t)</math> を関数を成分とする行列とし，積 <math>A(t)\ B(t)</math> が定義できるものとすれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{dAB}{dt} = \frac{dA}{dt}B + A\frac{dB}{dt}</math>|tag=(5.11a)|label=eq:5.11a}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_a^b\frac{dB}{dt}dt = B(b) - B(a)</math>|tag=(5.11b)|label=eq:5.11b}}
などは明らかであろう．
<!-- ex:114:start-->
<div id="ex:114">
<strong>例114</strong><math>\quad</math>
[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法#eq:5.11a|式 (5.11a)]], [[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法#eq:5.11b|式 (5.11b)]] を示せ．
<strong>解答例</strong>
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:114:end-->
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