|
#<math>x^2+(a+b)x+ab</math><math>=(x+a)(x+b)</math>
|}
この番号はあくまで便宜的説明用に書いているだけなので、覚える必要は無いありません。これらを使って、できるだけ細かく因数分解をする。
:例
=== 数式の計算 ===
;例題:<math>51 \times 49</math>を計算せよしなさい。
いままではこのような計算は、筆算でやっていたことだろう。しかし、展開や因数分解を使用することで非常に簡単に速く正確に解く事ができる。
|}
嘘だと思うなら電卓でも計算してみよう。きっと、正解するしいはずである。
=== 文字式の計算 ===
数の計算だけでなく、文字式の計算でも展開や因数分解の考え方を利用して楽に計算することができる。
;例題:''x'' = 11, ''y'' =7 のとき、4(3''x'' + 2''y'' ) - 2(''x'' - ''y'' )の値を求めよ。
文字式に直接数を代入して、
: <math>4(3\times 11 + 2\times 7 ) - 2(11 - 7 )</math>
を計算してもよいが、少し面倒である。そこで、先に展開や因数分解を利用して文字式を簡単な形に変形しておくと、代入の回数が減り、式の形も単純になって計算が簡単になる。
<math>\begin{matrix}
4(3x+2y)-2(x-y) &=& 12x+8y-2x+2y \\
&=& 10x+10y \\
&=& 10(x+y) \\
&=& 10(11+7) \\
&=& 10\times 18 \\
&=& 180
\end{matrix}</math>
また、この考え方は単純な計算だけではなく、数や図形や関数の性質を調べるときにも利用することができる。
;例題:「連続する3つの自然数の和は、3の倍数になる」ことを示せ。
このような証明問題はどのように考えていけばいいのだろうか。
まず、「連続する3つの自然数」を文字をつかってあらわしてみよう。隣り合う自然数はちょうど1だけ大きいか、1だけ小さいので、たとえば''n''を自然数として、
: ''n'', ''n''+1, ''n''+2
と表すことができる。他にも、''n''を''2より大きい整数''として、
: ''n''-1, ''n'', ''n''+1
と表すこともできる。''n''を「2より大きい整数」にしたのは、''n''-1が自然数、すなわち''1より大きい整数''になるように調節するためである。
この3つの数の和は、展開や因数分解を用いて、
: <math> n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)</math>
: <math> (n-1) + n + (n+1) = 3n</math>
と計算することができる。nやn+1は自然数だから、3(''n'' +1)や3''n''はどちらも3の倍数であり、「連続する3つの自然数の和は、3の倍数になる」ことが示された。
== 演習問題の解答 ==
| 