「制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
編集の要約なし |
編集の要約なし |
||
283 行
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = A\boldsymbol{x} + \boldsymbol{f}</math>}}
は次のように解くことができる．
この式を Laplace 変換すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>s\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] - \boldsymbol{x}(0) = A\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] + \mathcal{L}[\boldsymbol{f}]</math>}}
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI - A)\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = \boldsymbol{x}(0) + \mathcal{L}[\boldsymbol{f}]</math>}}
となる．ここに <math>I</math> は <math>n</math> 次の単位行列である．
<math>(sI - A)^{-1}</math> を <math>(sI - A)</math> の逆行列とすれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[\boldsymbol{x}] = (sI - A)^{-1} \boldsymbol{x}(0) + (sI - A)^{-1} \mathcal{L}[\boldsymbol{f}]</math>}}
となる．いま，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(sI - A)^{-1} \sqsubset \mathit{\Phi}</math>|tag=(5.14)|label=eq:5.14}}
とおけば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\boldsymbol{x}(t) = \mathit{\Phi}(t) \boldsymbol{x}(0) + \int_0^t \mathit{\Phi}(t-\tau)\boldsymbol{f}(\tau)d\tau</math>}}
となる．以上は[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察|例題を通して考察した]]ことの繰り返しに過ぎない．
これからわかるように，連立微分方程式を解くことの中心は[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法#eq:5.14|式 (5.14) ]]を計算することである．
| |||