利用者:ゆにこーど/サンドボックスD

この章では、2年生の図形の学習の基礎を学びます。

直線と角

2直線が交わってできる角

直線が2つ交わると、その交点の周りに4つの角ができます。

このとき、右図の∠a と∠c のような向かい合わせの位置にある2つの角を対頂角（たいちょうかく、英：vertical angles）といいます。∠b と∠d も対頂角です。

たとえば∠b が120°のとき、∠a と∠c の大きさを比べてみると、

∠a = 180°-120° = 60°

∠c = 180°-120° = 60°

つまり、∠a = ∠c となります。 これは、∠b が何度であっても成り立ちます。なぜなら、∠a も∠c も、（180-∠b ）°になるからです。ですから、次のことが言えます。

対頂角の性質

対頂角は等しい。

2直線に1つの直線が交わってできる角

2直線を横切るようにもうひとつの直線が交わるとき、8つの角ができます（右図）。

このとき、∠a と∠e のように同じ位置にある2つの角を同位角（どういかく、英：corresponding angles）といいます。∠a と∠e はどちらも、左上の位置にあるため、同位角といえます。∠b と∠f は互いに同位角であり、∠c と∠g は互いに同位角であり、∠d と∠h もそれぞれ同位角です。

また、∠b と∠h のように、2直線の内側にある2つの角を錯角（さっかく、英：alternate interior angles）といいます。∠c と∠e も錯角です。

平行線と同位角・錯角

右図のように2直線が平行(へいこう、英：parallel)であるとき、同位角どうしは等しくなります。また、同位角が等しいとき、2直線は平行になります。なぜそうなるのかを説明すると難しくなるので、ここでは省きます。

とにかく、右図のように直線l,m,nと角度a,bがある場合、

//m ならば ∠a ＝ ∠b

です。

錯角どうしも、2直線が平行なときには、錯覚どうしも等しくなります。錯覚は、同位角とは対頂角の位置にあることを利用すれば、同位角の性質をもちいて、2直線が平行なとき（同位角どうしだけでなく）錯覚どうしも等しくなることも説明できます。

平行線と同位角・錯角

1, 2直線が平行であるとき、その同位角は等しい。また、錯角も等しい。

2, 同位角や錯角が等しいとき、その2直線は平行である。

多角形の角

三角形の内角と外角

中学校数学では、主に円、三角形、四角形について学習します。2年生では三角形と四角形を主に学習します。まずは、三角形から調べてみましょう。

三角形の3つの内角(図形の内側の角)の和はいくつになるでしょうか。ここでは、平行線と角の性質を用いて調べていきます。

右図のΔABCに、辺BCの延長CDを引きます。

また、辺ABに平行で、Cを通る直線CEを引きます。

分かりやすいように、全ての角に右図のように名前をつけてみましょう。 このとき、平行線の同位角は等しいですから、

∠b = ∠e 　　… (1)

また、平行線の錯角は等しいですから、

∠a = ∠d 　　… (2)

∠c, ∠d, ∠e は一直線上にあるので

∠c + ∠d + ∠e = 180°

ですから、これに(1),(2)を代入する事により、

∠a + ∠b + ∠c = 180°

三角形の3つの内角の和

三角形の3つの内角の和は180ﾟである。

外角

外角とは、内角と隣り合った角のことで、右図の1のような角を指します。2のような角は指しません。

右図のように外角は1つの頂点につき大きさの等しい外角が2個あるが、普通はどちらか片方のことを言う。

外角には、次のような性質があります。

ある1つの三角形の頂点をA,B,C、それらの頂点に対応する3つの内角を ∠a,　∠b,　∠c とすると、

頂点Cの外角は、∠a + ∠b です。

なぜなら、さきほどの内角の和の説明の図で、

∠d + ∠e = ∠a + ∠bなので、

よって 頂点Cの外角は、∠a + ∠b です。

三角形の外角

三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい

多角形

多角形の内角と外角の位置は、右図のとおり。 右図では例として五角形の場合をしめす。

n角形の内角の和は、 (nー2)×180 ° になる

なぜなら、n角形は、右図のように、(n-2) 個の三角形に分割できるからである。（なお、右図は七角形である。）

ただし中学のこれらの多角形の公式では、右図のような、へこんだ多角形については考えていない。