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「物理数学I 解析学」の版間の差分

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M 組版の修正と双曲線関数の定義を行いました。
問題例を追加しました。
836 行
(IV)
:<math>
\int dx \frac 1 {1+\sin x}
{{\sin ^2x}\over{\cos ^2x}}
</math>
<!--
:<math>▼
\cos ^2x\,\sin ^2x
</math>▼
-->
をそれぞれ積分せよ。
 
960 ⟶ 955行目:
(IV)
:<math>
t = \fractan {(\sin^2frac x }{\cos ^2 x})
</math>
としたとき、
:<math>
dx = \frac 1 {\cos 2tdt}{1+t^2}, \sin x} -= \frac {2t}{1+t^2}
</math>
となることを考慮すると、
を利用すると、(<math>\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x</math>)
:<math>
\int dx \frac 1 {1+\sin^2 x }{\cos ^2 x}
</math>
:<math>
= \int \frac 1 {1+ \frac {2t}{1+t^2}}\frac {2tdt}{1+t^2}
= \tan x - x
</math>
▲:<math>
が得られる。
= \int dt \frac 2 {(1+t)^2}
▲</math>
:<math>
= - \frac 2 {1+t} = \frac {-2}{1+\tan (\frac x 2)}
</math>
となる。別の方法として、<!-- 結果から逆算したのだが ... 。 -->
:<math>
\frac 1 {1+\sin x} = \frac 1 {1+2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2}
</math>
:<math>
= \frac 1 {(\sin \frac x 2 + \cos \frac x 2)^2}
</math>
:<math>
= \frac 1{1+\tan \frac x 2}\frac 1 {\cos ^2 \frac x 2}
</math>
:<math>
= \frac d {dx}(\frac 1 {1 + \tan \frac x 2}) (-2)
</math>
となるので、両辺を積分して結果を得てもよい。
 
===多変数関数の微積分===
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