「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分

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== 導入 ==
ガロア理論では、主に体の代数拡大の性質を扱う。そこで、代数拡大に関する基礎的な定義・定理を述べる
 
 
; 定義
; 定義 (代数拡大)
<math>K/F</math> を体の拡大とする。<math>\alpha \in K</math> が <math>F</math> 上'''代数的'''であるとは、<math>F</math>係数多項式 <math>f(x) \in F[x]</math> が存在して、<math>f(\alpha) = 0</math> となることをいう。<br>
もし <math>K</math> の全ての元が <math>F</math> であるとき、<math>K/F</math> は'''代数拡大'''である、<math>K</math> は <math>F</math> 上'''代数的'''である、<math>K</math> は <math>F</math> の'''代数拡大体'''である、などという。
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*<math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> は代数拡大である。
*<math>\mathbb{R}/\mathbb{Q}</math> は代数拡大では'''ない'''。<math>\pi, e</math> といった[[w:超越数|超越数]]は有理数体上代数的ではないことが示されている。
 
 
; 定義 (拡大次数)
体の拡大 <math>K/F</math> の次数 <math>[K:F]</math> とは、<math>K</math> を <math>F</math> 上の自然な[[w:ベクトル空間|ベクトル空間]]とみなしたときの次元である。無限次元ベクトル空間となる場合は、<math>[K:F] = \infty</math> と書く。
 
;例
*<math>[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2.</math> 実際、<math>1, \sqrt{-1}</math> は実数体上基底をなす。
*<math>[\mathbb{R}:\mathbb{Q}] = \infty.</math>
*<math>[\mathbb{Q(2^{1/3})}:\mathbb{Q}] = 3.</math>
 
 
; 定義 (最小多項式)
体の拡大 <math>K/F</math> と、<math>F</math> 上代数的な元 <math>\alpha \in F</math> について、<math>F</math> 係数多項式 <math>f(x) \in F[x]</math> で <math>f(\alpha) = 0</math> となるもののうち、次数が最小で、かつ最高次係数が 1 であるものを、<math>\alpha</math> の <math>F</math> 上の最小多項式という。
 
;例
*<math>\sqrt{-1} \in \mathbb{C}</math> の <math>\mathbb{R}</math> 上の最小多項式は <math>f(x) = x^2 + 1.</math>
*<math>2^{1/3} \in \mathbb{Q(2^{1/3})}</math> の <math>\mathbb{Q}</math> 上の最小多項式は <math>f(x) = x^3 - 2.</math>
 
 
==== 命題 1 ====
体の拡大 <math>K/F</math> について、<math>f(x)</math> を、<math>F</math> 上代数的な元 <math>\alpha \in K</math> の <math>F</math> 上の最小多項式とする。このとき、<math>f(x)</math> は <math>F[x]</math> における[[w:既約多項式|既約多項式]]である。
 
;証明
<!-- to be done -->
 
==== 命題 2 ====
体の拡大 <math>K/F</math> について、<math>f(x)</math> を、<math>F</math> 上代数的な元 <math>\alpha \in K</math> の <math>F</math> 上の最小多項式とする。このとき、<math>[F(\alpha) : F] = \deg f.</math>
 
;証明
<!-- to be done -->
 
[[Category:数学]]