「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分
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;証明
<math>f(x) = g(x)h(x)</math> と分解されるとすると、<math>0 = f(\alpha) = g(\alpha)h(\alpha)</math> となるため、<math>g(\alpha) = 0, \ h(\alpha) = 0</math> のどちらかが成り立つ。前者が成り立つとしても一般性を失わない。<math>\deg g \leq \deg f</math> であることと、最小多項式の定義より、<math>\deg g = \deg f</math> となり、つまり定数倍の違いしかなく、これは命題で主張されている既約性を表している。
==== 命題 2 ====
体の拡大 <math>K/F</math> について、<math>f(x)</math> を、<math>F</math> 上代数的な元 <math>\alpha \in K</math> の <math>F</math> 上の最小多項式とする。このとき、<
(i)<math>F(\alpha) = F[x]/(f(x)).</math> 特に、<math>F(\alpha)</math> の任意の元は <math>\alpha</math> の <math>F</math> 係数多項式で表せる。<br>
(ii)<math>[F(\alpha) : F] = \deg f.</math><br>
;証明
<math></math>
[[Category:数学]]
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