「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
Angol Mois (トーク | 投稿記録) |
Angol Mois (トーク | 投稿記録) |
||
42 行
;証明
(i) <math>F[x]</math> は[[w:単項イデアル整域|単項イデアル整域]]であり、上の命題より <math>f(x)</math> は既約元なので、<math>(f(x))</math> は極大イデアルである。したがって、<math>F[x]/(f(x))</math> は体である。<math>F[x]/(f(x)) \rightarrow F(\alpha), \ x \mapsto \alpha</math> は体から体への準同型であり、単射である([[ガロア理論/準備#命題_3]])。また、全射性は[[ガロア理論/準備#命題_7]]よりしたがう。実際、<math>F(\alpha)</math> の元は <math>g, h \in F[x], \ h(\alpha) \neq 0</math> によって <math>g(\alpha)/h(\alpha)</math> という形に書け、単射性と <math>F[x]/(f(x))</math> が体であることを使えば <math>k(x) \in F[x]</math> で <math>h(x)k(x) \equiv 1 \ \ \rm{mod}(f(x))</math> となるものがあり、<math>g(x)k(x) \mod (f(x)) \mapsto g(\alpha)k(\alpha) = g(\alpha)/h(\alpha).</math>
(ii)<math>F(\alpha)</math> を <math>F</math> 上のベクトル空間としてみたとき、<math>1, \alpha, \alpha^2, \cdot</math> が生成元であることが (i) よりわかる。<math>d = \deg f</math> として、<math>x^d = f(x)q(x) + r(x), \ \deg r < \deg f = d</math> と多項式の除算をする。<math>\alpha</math> を代入して、<math>\alpha^d = r(\alpha)</math> となり、つまり <math>\alpha^d</math> は <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> の <math>F</math> 係数の線形結合で表せる。より高次の場合も同じであり、したがって、<math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。これらが線型独立であることは、最小多項式の次数の最小性より自明。よって基底として <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> が取れることがわかった。
[[Category:数学]]
<!--[[Category:代数学]][[Category:ガロア理論|たいすうかくたい]]-->
| |||