「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分
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実際、<math>F(\alpha)</math> の元は <math>g, h \in F[x], \ h(\alpha) \neq 0</math> によって <math>g(\alpha)/h(\alpha)</math> という形に書け、単射性と <math>F[x]/(f(x))</math> が体であることを使えば <math>k(x) \in F[x]</math> で <math>h(x)k(x) \equiv 1 \ \mod (f(x))</math> となるものがあり、<math>g(x)k(x) \mod (f(x)) \mapsto g(\alpha)k(\alpha) = g(\alpha)/h(\alpha).</math>
<br />
<br />
(ii)<math>F(\alpha)</math> を <math>F</math> 上のベクトル空間としてみたとき、<math>1, \alpha, \alpha^2, \cdot</math> が生成元であることが (i) よりわかる。
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より高次の場合も同じであり、したがって、<math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。これらが線型独立であることは、最小多項式の次数の最小性より自明であり、基底として <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> が取れることがわかった。
==== 命題3 ====
<math>L/K, K/F</math> を体の拡大とする。このとき、<math>[L:K][K:F] = [L:F].</math>
;証明
<math>[L:K], [K:F]</math> 片方が無限であるとき、<math>[L:F]</math> も無限であることはすぐにわかる。どちらも有限であるとして、
<math>x_1, \cdots, x_n \in L, \ y_1, \cdots, y_m \in K</math> をそれぞれベクトル空間としてみたときの <math>L/K, K/F</math> の基底とする。このとき、<math>x_iy_j \ (i = 1, \cdots, n, j = 1, \cdots, m)</math> は、<math>L</math> の <math>F</math> 上の基底になっている。
==== 命題4 ====
(i)<math>K/F</math> を体の拡大とする。<math>\alpha \in K</math> は <math>F</math> 上代数的である <math>\Leftrightarrow [F(\alpha):F] < \infty.</math><br />
(ii)<math>K = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)/F</math> を体の拡大とする。このとき、<math>[K:F] < \infty \Leftrightarrow K/F</math> は代数拡大。
;証明
(i) 命題2より十分性は明らか。逆に拡大次数が有限のとき、<math>n \geq 0</math> が存在して <math>1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}</math> が <math>F</math> 上線形従属となる。これは、代数的元であることを意味している。<br />
(ii)<br />
:<math>\Rightarrow : \ \alpha \in K</math> について、命題3より <math>[F(\alpha):F] < \infty</math> であるので、(i) より <math>\alpha</math> は代数的元である。
:<math>\Leftarrow : \ L/K, K/F</math> を体の拡大としたとき、<math>\alpha \in L</math> が <math>F</math> 上代数的ならば <math>K</math> 上代数的であることに注意して、仮定より <math>F(\alpha_1, \cdots, \alpha_i)/F(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})</math> は代数拡大なので (i) より <math>[F(\alpha_1, \cdots, \alpha_i):F(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})] < \infty</math> である。命題3を繰り返し使って <math>[K:F] < \infty</math> を得る。
[[Category:数学]]
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