「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分

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:<math>\Rightarrow : \ \alpha \in K</math> について、命題3より <math>[F(\alpha):F] < \infty</math> であるので、(i) より <math>\alpha</math> は代数的元である。
:<math>\Leftarrow : \ L/K, K/F</math> を体の拡大としたとき、<math>\alpha \in L</math> が <math>F</math> 上代数的ならば <math>K</math> 上代数的であることに注意して、仮定より <math>F(\alpha_1, \cdots, \alpha_i)/F(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})</math> は代数拡大なので (i) より <math>[F(\alpha_1, \cdots, \alpha_i):F(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})] < \infty</math> である。命題3を繰り返し使って <math>[K:F] < \infty</math> を得る。
 
==== 定理5 ====
<math>L/K, K/F</math> が体の代数拡大なら、<math>L/F</math> も代数拡大である。
 
;証明
<math>\alpha \in L</math> が体 <math>K</math> 上代数的であることを示す。定義より、<math>a_0, \cdots, a_n \in K</math> が存在して <math>a_n\alpha^n + \cdots + a_1\alpha + a_0 = 0</math> を満たす。<br />
このことから、<math>\alpha</math> は <math>M = F(a_0, \cdots, a_n)</math> 上代数的である。<br />
命題4(i)より <math>[M(\alpha):M] < \infty, [M:F] < \infty.</math> したがって命題3より、<math>[M(\alpha):F] \infty.</math> 命題3 を再び使って、<math>[F(\alpha):F] < \infty</math> なので、命題(i) より、<math>\alpha</math> は <math>F</math> 上代数的である。
 
==== 定理6 ====
<math>K/F</math> を体の拡大とする。<br />
(i) <math>\alpha, \beta (\neq 0) \in K</math> が代数的であるとする。このとき、<math>\alpha \pm \beta, \alpha\beta, \alpha/\beta</math> も代数的である。<br />
(ii) <math>K^a = \{\alpha \in K : \alpha</math> は代数的 <math>\}</math> は、<math>K/F</math> の中間体である。
 
;証明
(i)<br />
:命題4より <math>[F(\alpha):F] < \infty.</math> <math>\beta</math> は <math>F</math> 上代数的なので <math>F(\alpha)</math> 上代数的であることに注意して、<math>[F(\alpha, \beta):F(\alpha)] < \infty.</math>
:よって命題3より <math>[F(\alpha, \beta):F] < \infty</math> であり、<math>F(\alpha \pm \beta), F(\alpha\beta), F(\alpha/\beta)</math> はいずれも <math>F(\alpha, \beta)</math> の中間体であるから、命題3より <math>F</math> 上の拡大次数はどれも有限である。
:したがって命題4より、<math>\alpha \pm \beta, \alpha\beta, \alpha/\beta</math> はいずれも <math>F</math> 上代数的である。
(ii)<br />
:(i)より直ちに従う。
 
 
 
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