「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分
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5 行
; 定義 (代数拡大)
<math>K/F</math> を体の拡大とする。<math>\alpha \in K</math> が <math>F</math> 上'''代数的'''であるとは、<math>F</math>係数多項式 <math>f(x) \in F[x]</math> が存在して、<math>f(\alpha) = 0</math> となることをいう。<br>
もし <math>K</math> の全ての元が <math>F</math> 上代数的であるとき、<math>K/F</math> は'''代数拡大'''である、<math>K</math> は <math>F</math> 上'''代数的'''である、<math>K</math> は <math>F</math> の'''代数拡大体'''である、などという。
; 例
77 行
;証明
<math>\alpha \in L</math> が体 <math>
このことから、<math>\alpha</math> は <math>M = F(a_0, \cdots, a_n)</math> 上代数的である。<br />
命題4(i)より <math>[M(\alpha):M] < \infty, [M:F] < \infty.</math> したがって命題3より、<math>[M(\alpha):F] < \infty.</math> 命題3 を再び使って、<math>[F(\alpha):F] < \infty</math> なので、命題(i) より、<math>\alpha</math> は <math>F</math> 上代数的である。
==== 定理6 ====
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