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「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分

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32 行
 
==== 命題 1 ====
体の拡大 <math>K/F</math> について、<math>f(x)</math> を体の拡大とし、<math>F</math> 上代数的な元 <math>\alpha \in K</math> のを <math>F</math> 上の最小多項式代数的とする。このとき、<math>f(x)</math> はを <math>\alpha</math> の <math>F[x]</math> における[[w:既約上の最小多項式|既約多項式]]であとする。
(i) <math>\alpha</math> を根に持つ <math>F</math> 係数多項式は <math>F[x]</math> 内で <math>f(x)</math> で割り切れる。<br />
(ii) <math>f(x)</math> は <math>F[x]</math> における[[w:既約多項式|既約多項式]]である。
(iii) 逆に、<math>g(x) \in F[x]</math> が <math>\alpha \in K</math> を根に持つ既約なモニック多項式であるならば、それは <math>\alpha \in K</math> の <math>F</math> 上の最小多項式である。
 
;証明
(i) <math>fg(x) =\in F[x], \ g(x)h(x\alpha) = 0</math> と分解されるとするとし、<math>0g(x) = f(\alphax)q(x) =+ gr(\alpha)h(\alphax)</math> とな <math>F[x]</math> 内で除算をするため、。このとき <math>g(\alpha)deg =f 0,> \deg h(\alpha)r</math> であり、また <math>x = 0\alpha</math> のどちらかが成り立つ。前者が成り立つとを代入しても一般性を失わない。 <math>r(\degalpha) g \leq= \deg f0</math> であることとので、最小多項式の定義次数の最小性より、 <math>\deg gr(x) = \deg f0</math> となりって、つまり定数倍の違いしかなく、これは命題で主張証明されている既約性を表している。<br />
(ii) <math>f(x) = g(x)h(x)</math> と分解されるとすると、<math>0 = f(\alpha) = g(\alpha)h(\alpha)</math> となるため、<math>g(\alpha) = 0, \ h(\alpha) = 0</math> のどちらかが成り立つ。前者が成り立つとしても一般性を失わない。<math>\deg g \leq \deg f</math> であることと、最小多項式の定義より、<math>\deg g = \deg f</math> となり、つまり定数倍の違いしかなく、これは命題で主張されている既約性を表している。<br />
(iii) (i) より <math>g(x)</math> は <math>f(x)</math> で割り切れるので、既約性より <math>g(x)</math> は <math>f(x)</math> の定数倍である。<math>g(x)</math> がモニックであるという仮定より、<math>g(x) = f(x).</math>
 
==== 命題 2 ====
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