「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分

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の二つを示すことが目標だったわけであるが、直接これらを示すのは難しい。そこでかわりにベクトル空間としてみたときの基底の濃度の有限性で代数的であるか超越的であるかを判定できることに(命題4)に着目して、拡大次数を使って目標の定理を示したのである。
 
ここで出てきた最小多項式と拡大次数はガロア理論において重要な概念であり、ここで使われた命題は今後頻繁に出てくる。
 
== 例 ==
*<math>n > 1</math> として <math>[\mathbb{Q}(2^{-n}):\mathbb{Q}] = n.</math> 実際、<math>x^n - 2 \in \mathbb{Q}[x]</math> は[[w:アイゼンシュタインの既約判定法|アイゼンシュタインの既約判定法]]より既約であるので、これは <math>2^{-n}</math> の最小多項式である。
*<math>\omega = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}</math> を 1 の 3 乗根とし、<math>\alpha = \sqrt[3]{2}</math> として <math>K = \mathbb{Q}(\alpha, \omega)</math> とする。
:<math>K/\mathbb{Q}</math> は中間体として <math>\mathbb{Q}(\alpha), \mathbb{Q}(\omega)</math> を含み、<math>[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3, [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}] = 2</math> であり、
:<math>[K:\mathbb{Q}]</math> は <math>[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}], [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]</math> で割り切れるので、<math>[K:\mathbb{Q}] \geq 6.</math>
:逆に、ベクトル空間として <math>K</math> は <math>1, \alpha, \omega, \alpha\omega, \alpha^2, \alpha^2\omega</math> の 6 つの元によって <math>\mathbb{Q}</math> 上生成されるので、<math>[K:\mathbb{Q}] \leq 6.</math>
 
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