ガロア理論/代数的閉体

定義

体 $F$ が代数的閉であるとは、任意の定数でない多項式 $f(x)\in F[x]$ に対して $\alpha \in F$ があって $f(\alpha )=0$ となることをいう。

例

• 複素数体 $\mathbb {C}$ は代数的閉体である。これは 代数学の基本定理と呼ばれる事実である。
• 有理数体上代数的である複素数を代数的数という。${\bar {\mathbb {Q} }}$ を代数的数全体とすると、これは代数的閉体である。

(証明) 体であることはガロア理論/代数拡大#定理6から明らか。$f(x)\in {\bar {\mathbb {Q} }}[x]$ を定数でない多項式として、複素数体 $\mathbb {C}$ が代数的閉体であることから、$\alpha \in \mathbb {C}$ で $f(\alpha )=0$ となるものがある。この $\alpha$ が実は代数的数であることを示せば良い。

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ として、$\alpha$ は $\mathbb {Q} (a_{0},\cdots ,a_{n})$ 上代数的であり、$\mathbb {Q} (a_{0},\cdots ,a_{n})$ は $\mathbb {Q}$ 上代数的である (ガロア理論/代数拡大#系7より) ので、ガロア理論/代数拡大#定理5より $\alpha$ は $\mathbb {Q}$ 上代数的である。