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114 行 == 例 == <math>n > 1</math> として <math>[\mathbb{Q}(2^{-\frac{1}{n}}):\mathbb{Q}] = n.</math> 実際、<math>x^n - 2 \in \mathbb{Q}[x]</math> は[[w:アイゼンシュタインの既約判定法\|アイゼンシュタインの既約判定法]]より既約であるので、これは <math>2^{-\frac{1}{n}}</math> の最小多項式である。 <math>\omega = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}</math> を 1 の 3 乗根とし、<math>\alpha = \sqrt[3]{2}</math> として <math>K = \mathbb{Q}(\alpha, \omega)</math> とする。 :<math>K/\mathbb{Q}</math> は中間体として <math>\mathbb{Q}(\alpha), \mathbb{Q}(\omega)</math> を含み、<math>[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3, [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}] = 2</math> であり、 :<math>[K:\mathbb{Q}]</math> は <math>[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}], [\mathbb{Q}(\~~alpha~~omega):\mathbb{Q}]</math> で割り切れるので、<math>[K:\mathbb{Q}] \geq 6.</math> :逆に、ベクトル空間として <math>K</math> は <math>1, \alpha, \omega, \alpha\omega, \alpha^2, \alpha^2\omega</math> の 6 つの元によって <math>\mathbb{Q}</math> 上生成されるので、<math>[K:\mathbb{Q}] \leq 6.</math> :ゆえに、<math>[K:\mathbb{Q}] = 6.</math> [[Category:数学]]

「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分