「ガロア理論/代数的閉体」の版間の差分
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Angol Mois (トーク | 投稿記録) ページの作成:「== 定義 == 体 <math>F</math> が'''代数的閉'''であるとは、任意の定数でない多項式 <math>f(x) \in F[x]</math> に対して <math>\alpha \in F</math>…」 |
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::(証明) 体であることは[[ガロア理論/代数拡大#定理6]]から明らか。<math>f(x) \in \bar{\mathbb{Q}}[x]</math> を定数でない多項式として、複素数体 <math>\mathbb{C}</math> が代数的閉体であることから、<math>\alpha \in \mathbb{C}</math> で <math>f(\alpha) = 0</math> となるものがある。この <math>\alpha</math> が実は代数的数であることを示せば良い。
::<math>f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n</math> として、<math>\alpha</math> は <math>\mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n)</math> 上代数的であり、<math>\mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n)</math> は <math>\mathbb{Q}</math> 上代数的である ([[ガロア理論/代数拡大#系7]]より) ので、[[ガロア理論/代数拡大#定理5]]より <math>\alpha</math> は <math>\mathbb{Q}</math> 上代数的である。
==== 命題1 ====
代数的閉体 <math>K</math> について、<math>K[x]</math> の多項式は一次の式に分解される。つまり、任意の多項式が <math>a_0(X-a_1) \cdots (X-a_n)</math> という形である。
;証明
次数に関する帰納法。
== 代数的閉包とその存在性 ==
体 <math>F</math> の代数的閉包 <math>\bar{F}</math> とは、<math>F</math> の拡大体であり、かつ代数的閉であるような体のことをいう。
さて、我々の目標は次の定理である。
==== 定理2 ====
<math>F</math> を体とする。<br />
(i) <math>F</math> の代数的閉包が存在する。<br />
(ii) <math>K/F, K'/F</math> を代数拡大とし、<math>f : K \rightarrow K'</math> が <math>F</math> 上の体の同型であるとする。また、<math>\bar{K}, \bar{K'}</math> をそれぞれの代数的閉包とする。このとき、同型 <math>\bar{f} : \bar{K} \rightarrow \bar{K'}</math> で <math>f : K \rightarrow K'</math> の拡張になっているものがある。
(iii) <math>F</math> の代数的閉包はみな <math>F</math> 上同型である。<br />
[[Category:数学]]
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