「ガロア理論/分離拡大」の版間の差分
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== 性質 ==
さて、我々はすでに[[ガロア理論/代数拡大]]で代数拡大についての種々の性質を見た。分離拡大についても同様の命題が成り立つことを予想するのは自然なことであり、そしてそれは実際に正しい。以下ではそれを目標にして、分離拡大の性質を論じる。
==== 定理 1 ====
<math>K = F(\alpha)/F</math> を代数拡大とする。このとき、以下が成り立つ。
(i) <math>|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| \leq [K : F]</math><br />
(ii) <math>|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| = [K : F] \Leftrightarrow K/F</math> が分離拡大である<br />
ただし、<math>{\rm Hom}_F(K, L)</math> は、<math>F</math> 上の準同型 <math>K \rightarrow L</math> 全体の集合である。
;証明
<math>f(X) \in F[X]</math> を <math>\alpha</math> の最小多項式とする。
<math>\phi : K \rightarrow \bar{F}</math> を体 <math>F</math> 上の準同型とする。このとき、<math>f(X) \in F[X]</math> なので <math>f(\phi(\alpha)) = \phi(f(\alpha)) = \phi(0) = 0.</math>
つまり、<math>\phi(\alpha)</math> は <math>f(X)</math> の根である。ところで、<math>\phi</math> は <math>\phi(\alpha)</math> で決まるので([[ガロア理論/準備#命題_8]])、
<math>|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| = </math> (<math>f(X)</math> の根の個数) <math>\leq \deg f(X) = [K : F].</math> なお、最後の等号は[[ガロア理論/代数拡大#命題_2]]を使った。
したがって、(i) が示された。(ii) について、等号が成立するのは、<math>f(X)</math> の根の個数が <math>\deg f(X)</math> と一致するとき、かつそのときであり、それは分離拡大の定義そのものである。
[[Category:数学]]
<!--[[Category:代数学]][[Category:ガロア理論|たいすうてきへいたい]]-->
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