「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分
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(ii) <math>f(x) = g(x)h(x)</math> と分解されるとすると、<math>0 = f(\alpha) = g(\alpha)h(\alpha)</math> となるため、<math>g(\alpha) = 0, \ h(\alpha) = 0</math> のどちらかが成り立つ。前者が成り立つとしても一般性を失わない。<math>\deg g \leq \deg f</math> であることと、最小多項式の定義より、<math>\deg g = \deg f</math> となり、つまり定数倍の違いしかなく、これは命題で主張されている既約性を表している。<br />
(iii) (i) より <math>g(x)</math> は <math>f(x)</math> で割り切れるので、既約性より <math>g(x)</math> は <math>f(x)</math> の定数倍である。<math>g(x)</math> がモニックであるという仮定より、<math>g(x) = f(x).</math>
==== 命題 2 ====
60 ⟶ 61行目:
より高次の場合も同じであり、したがって、<math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> はベクトル空間としての生成元である。これらが線型独立であることは、最小多項式の次数の最小性より自明であり、基底として <math>1, \alpha, \cdots, \alpha^{d-1}</math> が取れることがわかった。
==== 命題3 ====
68 ⟶ 70行目:
<math>x_1, \cdots, x_n \in L, \ y_1, \cdots, y_m \in K</math> をそれぞれベクトル空間としてみたときの <math>L/K, K/F</math> の基底とする。このとき、<math>x_iy_j \ (i = 1, \cdots, n, j = 1, \cdots, m)</math> は、<math>L</math> の <math>F</math> 上の基底になっている。
==== 命題4 ====
78 ⟶ 81行目:
:<math>\Rightarrow : \ \alpha \in K</math> について、命題3より <math>[F(\alpha):F] < \infty</math> であるので、(i) より <math>\alpha</math> は代数的元である。
:<math>\Leftarrow : \ L/K, K/F</math> を体の拡大としたとき、<math>\alpha \in L</math> が <math>F</math> 上代数的ならば <math>K</math> 上代数的であることに注意して、仮定より <math>F(\alpha_1, \cdots, \alpha_i)/F(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})</math> は代数拡大なので (i) より <math>[F(\alpha_1, \cdots, \alpha_i):F(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})] < \infty</math> である。命題3を繰り返し使って <math>[K:F] < \infty</math> を得る。
==== 定理5 ====
86 ⟶ 90行目:
このことから、<math>\alpha</math> は <math>M = F(a_0, \cdots, a_n)</math> 上代数的である。<br />
命題4(i)より <math>[M(\alpha):M] < \infty, [M:F] < \infty.</math> したがって命題3より、<math>[M(\alpha):F] < \infty.</math> 命題3 を再び使って、<math>[F(\alpha):F] < \infty</math> なので、命題(i) より、<math>\alpha</math> は <math>F</math> 上代数的である。
==== 定理6 ====
105 ⟶ 110行目:
;証明
<math>F(S)</math> は <math>F \cup S</math> を含む最小の体であり、定理6 (ii) より <math>F(S) \subseteq K^a</math> である。
== 解説 ==
116 ⟶ 122行目:
*<math>n > 1</math> として <math>[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{n}}):\mathbb{Q}] = n.</math> 実際、<math>x^n - 2 \in \mathbb{Q}[x]</math> は[[w:アイゼンシュタインの既約判定法|アイゼンシュタインの既約判定法]]より既約であるので、これは <math>2^{\frac{1}{n}}</math> の最小多項式である。
*<math>\omega = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}</math> を 1 の 3 乗根とし、<math>\alpha = \sqrt[3]{2}</math> として <math>K = \mathbb{Q}(\alpha, \omega)</math> とする。
:<math>K/\mathbb{Q}</math> は中間体として <math>\mathbb{Q}(\alpha), \mathbb{Q}(\omega)</math> を含み、<math>[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3, \ [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}] = 2</math> であり、
:<math>[K:\mathbb{Q}]</math> は <math>[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}], [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]</math> で割り切れるので、<math>[K:\mathbb{Q}] \geq 6.</math>
:逆に、ベクトル空間として <math>K</math> は <math>1, \alpha, \omega, \alpha\omega, \alpha^2, \alpha^2\omega</math> の 6 つの元によって <math>\mathbb{Q}</math> 上生成されるので、<math>[K:\mathbb{Q}] \leq 6.</math>
:(あるいは <math>K = \mathbb{Q}(\omega)(\alpha)</math> について、<math>\alpha</math> は <math>X^3 - 2</math> の根であるから <math>[K:\mathbb{Q}(\omega)] \leq 3</math> によって <math>[K:\mathbb{Q}] \leq 6.</math>)
:ゆえに、<math>[K:\mathbb{Q}] = 6.</math>
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