「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分

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==== 命題 3 ====
<math>L/K, K/F</math> を体の拡大とする。このとき、<math>[L:K][K:F] = [L:F].</math>
 
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==== 命題 4 ====
(i)<math>K/F</math> を体の拡大とする。<math>\alpha \in K</math> は <math>F</math> 上代数的である <math>\Leftrightarrow [F(\alpha):F] < \infty.</math><br />
(ii)<math>K = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)/F</math> を体の拡大とする。このとき、<math>[K:F] < \infty \Leftrightarrow K/F</math> は代数拡大。
83 行
 
 
==== 定理 5 ====
<math>L/K, K/F</math> が体の代数拡大なら、<math>L/F</math> も代数拡大である。
 
92 行
 
 
==== 定理 6 ====
<math>K/F</math> を体の拡大とする。<br />
(i) <math>\alpha, \beta (\neq 0) \in K</math> が代数的であるとする。このとき、<math>\alpha \pm \beta, \alpha\beta, \alpha/\beta</math> も代数的である。<br />
105 行
:(i)より直ちに従う。
 
==== 系 7 ====
<math>K/F</math> を体の拡大とし、集合 <math>S \subset K</math> の任意の元が <math>F</math> 上代数的であるとする。このとき、<math>F(S)/F</math> は代数拡大である。
 
113 行
 
== 解説 ==
*定理 5 : 体の代数拡大が推移的である
*定理 6 : 代数的な元同士を足したり掛けたりしてもまた代数的である
の二つを示すことが目標だったわけであるが、直接これらを示すのは難しい。そこでかわりにベクトル空間としてみたときの基底の濃度の有限性で代数的であるか超越的であるかを判定できることに(命題4)に着目して、拡大次数を使って目標の定理を示したのである。