「ガロア理論/分離拡大」の版間の差分
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体の拡大 <math>K/F</math> が'''分離拡大'''であるとは、任意の <math>\alpha \in K</math> が <math>F</math> 上分離的であることをいう。
(注) 分離拡大はその定義より代数拡大である。また、<math>L/K, K/F</math> を体の拡大として <math>\alpha \in L</math> が <math>F</math> 上分離的であるなら <math>K</math> 上分離的でもある。
== 性質 ==
さて、我々はすでに[[ガロア理論/代数拡大]]で代数拡大についての種々の性質を見た。分離拡大についても同様の命題が成り立つことを予想するのは自然なことであり、そしてそれは実際に正しい。以下ではそれを目標にして、分離拡大の性質を論じる。
==== 定理 1 ====▼
==== 命題 1 ====
<math>K = F(\alpha)/F</math> を代数拡大とする。このとき、以下が成り立つ。
(i) <math>|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| \leq [K : F]</math><br />
(ii) <math>|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| = [K : F] \Leftrightarrow
ただし、<math>{\rm Hom}_F(K, L)</math> は、<math>F</math> 上の準同型 <math>K \rightarrow L</math> 全体の集合である。
29 ⟶ 30行目:
<math>|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| = </math> (<math>f(X)</math> の根の個数) <math>\leq \deg f(X) = [K : F].</math> なお、最後の等号は[[ガロア理論/代数拡大#命題_2]]を使った。
したがって、(i) が示された。(ii) について、等号が成立するのは、<math>f(X)</math> の根の個数が <math>\deg f(X)</math> と一致するとき、かつそのときであり、それは <math>\alpha</math> の分離
==== 命題 2 ====
<math>L/K, K/F</math> を体の代数拡大とし、それらを含む代数閉包 <math>\Omega</math> を取る。このとき、<math>|{\rm Hom}_F(K, \Omega)| \cdot |{\rm Hom}_K(L, \Omega)| = |{\rm Hom}_F(L, \Omega)|</math> である。
;証明
全単射 <math>{\rm Hom}_F(K, \Omega) \times {\rm Hom}_K(L, \Omega) \rightarrow {\rm Hom}_F(L, \Omega)</math> を構成する。
<math>\phi \in {\rm Hom}_F(K, \Omega)</math> に対して、<math>\phi: K \rightarrow \Omega</math> の拡張となっているような同型写像 <math>\bar{\phi} : \Omega \rightarrow \Omega</math> が存在する。これは、[[ガロア理論/代数的閉体#定理_2]]において、<math>K' = \phi(K), f = \phi</math> とすれば得られる。
このような対応 <math>\phi \rightarrow \bar{\phi}</math> を一つ固定する(選択公理を使う)。
さて、<math>{\rm Hom}_F(K, \Omega) \times {\rm Hom}_K(L, \Omega) \rightarrow {\rm Hom}_F(L, \Omega)</math> を、<math>(\phi, \psi) \mapsto \bar{\phi} \circ\psi</math> で定める。
逆に、<math>{\rm Hom}_F(L, \Omega) \rightarrow {\rm Hom}_F(K, \Omega) \times {\rm Hom}_K(L, \Omega)</math> を、<math>\rho \rightarrow (\rho|_K, \overline{\rho|_K}^{-1} \circ \rho)</math> で定める。
これらは互いに逆写像であるので、全単射が構成され、命題は示された。
(i) <math>K = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)/F</math> が代数拡大であるとする。各 <math>\alpha_i</math> が <math>F</math> 上代数的であるなら <math>K/F</math> は分離拡大である。<br />
(ii) <math>L/K, K/F</math> が分離拡大であるなら <math>L/F</math> も分離拡大である。
;証明
(i) <math>\alpha \in K</math> とする。分離拡大の定義の下にある(注)より、<math>F_0 = F, F_i = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_i)</math> としたとき、各 <math>F_i/F_{i-1}</math> は分離拡大であるから、命題 1 より<math>[F_i : F_{i-1}] = |{\rm Hom}_{F_{i-1}}(F_i, \Omega)|</math> である。ただし、<math>\Omega = \bar{K}</math> は代数閉包である。<br />
命題 2 と [[ガロア理論/代数拡大#命題_3]]-(i) を繰り返し使うことで <math>[K:F] = |{\rm Hom}_F(K, \Omega)|</math> を得る。同じ命題を使うことで<br />
<math>[F(\alpha):F] = |{\rm Hom}_F(F(\alpha), \Omega)|</math> を得る。命題 1 より <math>\alpha</math> は <math>F</math> 上分離的である。
(ii) (i) と [[ガロア理論/代数拡大#定理_5]] 同様の手法で証明される。
[[Category:数学]]
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