「ガロア理論/代数的閉体」の版間の差分

::(証明) 体であることは[[ガロア理論/代数拡大#定理 6]]から明らか。<math>f(x) \in \bar{\mathbb{Q}}[x]</math> を定数でない多項式として、複素数体 <math>\mathbb{C}</math> が代数的閉体であることから、<math>\alpha \in \mathbb{C}</math> で <math>f(\alpha) = 0</math> となるものがある。この <math>\alpha</math> が実は代数的数であることを示せば良い。

::<math>f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n</math> として、<math>\alpha</math> は <math>\mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n)</math> 上代数的であり、<math>\mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n)</math> は <math>\mathbb{Q}</math> 上代数的である ([[ガロア理論/代数拡大#系 7]]より) ので、[[ガロア理論/代数拡大#定理 5]]より <math>\alpha</math> は <math>\mathbb{Q}</math> 上代数的である。