「ガロア理論/分離拡大」の版間の差分
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== 定義 ==
;分離多項式
<math>f(
;分離的な元
<math>K/F</math> を体の拡大とし、<math>\bar{K}</math> を代数閉包とする。<math>\alpha \in K</math> が <math>F</math> 上代数的であり、かつその <math>F</math> 上の最小多項式が <math>\bar{K}[
;分離拡大
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(ii) (i) と [[ガロア理論/代数拡大#定理_5]] 同様の手法で証明される。
== 判定法 ==
本節では分離性の判定法を議論していく。
;定義
環 <math>A</math> を係数に持つ多項式 <math>f(X) = a_0X^n + a_1X^{n-1} + \cdots + a_{n-1}X + a_n \in A[X]</math> の'''微分'''を
<math>f'(X) = na_0X^{n-1} + (n-1)a_1X^{n-2} + \cdots + a_{n-1}</math> で定める。
ただし、自然数 <math>m</math> と <math>a \in A</math> に対し、<math>ma = a + a + \cdots + a</math> (<math>m</math> 回) である。
;性質
多項式の微分について、以下が成立する。
*<math>(af(X) + bg(X))' = af'(X) + bg'(X)</math>
*<math>(f(X)g(X))' = f'(X)g(X) + f(X)g'(X)</math>
分離性を判断する鍵となる命題は、以下の二つである。
==== 命題 4 ====
<math>F</math> を体とし、<math>\alpha \in X, \, f(X) \in F[X]</math> とする。このとき、<math>\alpha</math> が <math>f(X)</math> の重根であることと <math>f(\alpha)</math> かつ <math>f'(\alpha) = 0</math> であることは同値である。
;証明
<math>f(X)</math> が <math>\alpha</math> で重根であるとき、<math>f(X) = (X-\alpha)^2g(X)</math> と書け、<math>f'(X) = 2(X-\alpha)g(X) + (X-\alpha)^2g'(X)</math> であるので、<math>f(\alpha) = 0, \, f'(\alpha) = 0.</math>
逆に、<math>f(\alpha) = 0, \, f'(\alpha) = 0</math> のとき、<math>f(X) = (X-\alpha)^2g(X) + aX + b, \ a,b \in F</math> と除算すると、<math>f(\alpha) = 0</math> より <math>b = 0.</math> また、<math>f'(X) = 2(X-\alpha)g(X) + (X-\alpha)^2g'(X) + a</math> なので <math>f'(\alpha) = 0</math> より <math>a = 0.</math> つまり <math>f(X) = (X-\alpha)^2g(X)</math> であり、重根である。
==== 命題 5 ====
<math>F</math> を体とする。<math>f(X), g(X) \in F[X]</math> が互いに素であることと、<math>f(X)a(X) + g(X)b(X) = 1</math> となる <math>a(X), b(X) \in F[X]</math> が存在することは同値である。
;証明
<math>F[X]</math> が [[w:ユークリッド整域|ユークリッド整域]]であることを利用すれば、[[w:ユークリッドの互除法|ユークリッドの互除法]] を使うことで <math>f(X)a(X) + g(X)b(X) = {\rm gcd}(f, g)</math> となる <math>a(X), b(X)</math> が構成できる。ただし、<math>{\rm gcd}(f, g)</math> は最大公約多項式(すなわち、両方を割り切る次数が最大の多項式)である。詳細は省く。
==== 定理 6 ====
<math>K/F</math> を体の拡大とし、<math>\alpha \in K</math> の <math>F</math> 上の最小多項式を <math>f(X)</math> とする。このとき、<math>\alpha</math> が <math>F</math> 上分離的であることと <math>f'(X) \neq 0</math> は同値である。
;証明
<math>f'(X) = 0</math> のとき、<math>f'(\alpha) = 0</math> なので命題 4 より <math>\alpha</math> は重根である。つまり、<math>\alpha</math> は非分離的である。逆に、<math>\alpha</math> が非分離的であるならば <math>f(X)a(X) + f'(X)b(X) = 1</math> となるような <math>a(X), b(X) \in F[X]</math> は存在しない。仮に存在したとすると、<math>K[X]</math> で <math>f(X)a(X) + f'(X)b(X) = 1</math> が成立するが、<math>f(X), f'(X)</math> はどちらも <math>X-\alpha</math> で割り切れるので矛盾する。したがって、命題 5 より <math>f(X), f'(X)</math> は互いに素ではない。一方、<math>f(X)</math> は規約多項式 ([[ガロア理論/代数拡大#命題_1]]より) であり、<math>\deg f'(X) < \deg f(X)</math> であることから、これは <math>f'(X) = 0</math> であることを指し示している。
[[Category:数学]]
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