「ガロア理論/代数拡大」の版間の差分
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; 定義 ([[w:代数拡大|代数拡大]] algebraic extension)
<math>K/F</math> を体の拡大とする。<math>\alpha \in K</math> が <math>F</math> 上'''代数的'''(algebraic)であるとは、<math>F</math>係数多項式 <math>f(x) \in F[x]</math> が存在して、<math>f(\alpha) = 0</math> となることをいう。<br>
もし <math>K</math> の全ての元が <math>F</math> 上代数的であるとき、<math>K/F</math> は'''代数拡大'''である、<math>K</math> は <math>F</math> 上'''代数的'''である、<math>K</math> は <math>F</math> の'''代数拡大体'''である、などという。<br>
代数的でないことを'''超越的'''(transcendential)という。
; 例
14 行
; 定義 (拡大次数 extension degree)
体の拡大 <math>K/F</math> の次数 <math>[K:F]</math> とは、<math>K</math> を <math>F</math> 上の自然な[[w:ベクトル空間|ベクトル空間]]とみなしたときの次元である。無限次元ベクトル空間となる場合は、<math>[K:F] = \infty</math> と書く。
23 行
; 定義 ([[w:最小多項式|最小多項式]] minimal polynomial)
体の拡大 <math>K/F</math> と、<math>F</math> 上代数的な元 <math>\alpha \in F</math> について、<math>F</math> 係数多項式 <math>f(x) \in F[x]</math> で <math>f(\alpha) = 0</math> となるもののうち、次数が最小で、かつ最高次係数が 1 であるものを、<math>\alpha</math> の <math>F</math> 上の最小多項式という。
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