「線型代数学/行列概論」の版間の差分

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行列の累乗を独立させた。
621 行
O & A_{2,2}^{-1}
\end{pmatrix}</math>である。
===行列の累乗===
 
行列の累乗は、<math>A</math>を正則行列、<math>n</math>を自然数とし、次のように定義される。<br>
:<math>A^an=\underbrace{AA...A}_a_n</math><br>
<math>A^0=I</math><br>
<math>A^{-n}=\underbrace{A^{-1}A^{-1}...A^{-1}}_n</math><br>
行列の累乗には以下の性質がある。<br>
<math>A^k A^l = A^{k + l}</math><br>
<math>(A^k)^l = A^{kl}</math><br>
<math>AB=BA</math>のとき<math>(AB)^k=A^k B^k</math> ただし<math>A</math>を正則行列、<math>k,l</math>を自然数とする。<br>
 
===その他===
638 ⟶ 648行目:
 
Tr(cA)=cTrA, Tr(A+B)=TrA+TrB, Tr(AB)=Tr(BA)
 
定義(3.2.7)行列の指数
 
:<math>A^a=\underbrace{AA...A}_a</math>
 
 
指数法則と呼べるような次の性質が成り立つ。ただし、<math>k,l\isin \mathbb{N}</math>であるが。
 
:A<sup>k</sup>A<sup>l</sup>=A<sup>k+l</sup>,  (A<sup>k</sup>)<sup>l</sup>=A<sup>kl</sup>
 
:AB=BA⇒(AB)<sup>k</sup>=A<sup>k</sup>,A<sup>l</sup>
 
Aが正則ならば、A<sup>0</sup>=E, A<sup>-k</sup>=(A<sup>-1</sup>)^kとして、<math>k,l\isin \mathbb{Z}</math>において定義可能である。
 
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