「線型代数学/行列概論」の版間の差分
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0.2.15の証明の追加 |
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249 行
{{定理|0.2.15}}
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K)</math>のとき、
#: <
# <math>A, B \in M(m,n;\mathbf K)</math>のとき、
#: <
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K), \lambda \in \mathbf K</math>のとき、
#: <math>^t(\lambda A) = \lambda (^tA)</math>
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K),~B \in M(n,l;\mathbf K)</math>のとき、
#: <
{{定理終わり}}
<div class="NavFrame" style="margin: 1em auto; width: 93%; clear: both; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;">
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">0.2.15の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;">
<math>A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})</math>とする。
#転置行列とは、行と列を入れ替えた行列なので、2回行と列を入れ替えれば、もとの行列に戻ることは自明である。
#<math>^t(A+B)=a_{ji}+b_{ji}</math>であり、<math>^tA+^tB=a_{ji}+b_{ji}</math>であるから。
#<math>^t(\lambda A) = \lambda a_{ji}</math>であり、<math>\lambda(^tA) = \lambda a_{ji}</math>であるから。
#<math>AB = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j}</math>なので、<math>^t(AB) = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k} b_{k,i}</math>である。次に、<math>^tA = a_{j,i}, ^tB = b_{j,i}</math>であるので、<math>^tA ^tB = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k} b_{k,i}</math>であるから。
ただし、<math>n</math>を<math>A</math>の列数とする。
</div></div>
== 複素行列 ==
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