「線型代数学/行列概論」の版間の差分
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636 行
行列の累乗は、<math>A</math>を正則行列、<math>n</math>を自然数とし、次のように定義される。<br>
:<math>A^n=\underbrace{AA...A}_n</math><br>
:<math>A^0=I</math><br>
:<math>A^{-n}=\underbrace{A^{-1}A^{-1}...A^{-1}}_n</math><br>
行列の累乗には以下の性質がある。<br>
:<math>A^k A^l = A^{k + l}</math><br>
:<math>(A^k)^l = A^{kl}</math><br>
:<math>AB=BA</math>のとき<math>(AB)^k=A^k B^k</math> ただし:<math>A</math>を正則行列、<math>k,l</math>を自然数とする。
'''証明'''<br><math>(AB)^k = ABABAB \cdots ABAB</math
:<math>AB=BA</math>なので、隣り合うAとBを入れ替えていくと<br>
<math>ABABAB \cdots ABAB=AABABA \cdots BABB</math><br>
これを続けると、<math>\underbrace{AA \cdots A}_k \underbrace{BB \cdots B}_k</math>となる。
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