「線型代数学/行列概論」の版間の差分
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566 行
==行列の演算続き==
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<math>AX=XA=I</math>となる行列<math>X</math>が存在すれば、<math>X</math>を<math>A</math>の逆行列といい、<math>A^{-1}</math>と表す。<br>
また、<math>A</math>に逆行列が存在すれば、<math>A</math>を'''正則行列'''といい、逆行列はただ一通りに決まる。<br>
'''証明'''
:<math>A</math>に逆行列<math>X,Y</math>が存在すると仮定すると。
:<math>AX=XA=I,AY=YA=I</math>が成り立つので、
:<math>X=XI=X(AY)=(XA)Y=IY=Y</math>よって<math>X=Y</math>となるので、逆行列が存在すれば、ただ一通りに決まる。
逆行列については、以下の性質が成り立つ。
#<math>(A^{-1})^{-1}=A</math>
#<math>(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}</math>
'''証明'''
:#<math>A^{-1}</math>の逆行列は、定義から、<math>A^{-1}X=X A^{-1} = I</math>となる<math>X</math>であるが、<math>X</math>に<math>A</math>を代入すると成り立っているので、<math>(A^{-1})^{-1}=A</math>である。
:#<math>AB</math>の逆行列は、<math>(AB)X=X(AB)=I</math>となる<math>X</math>であるが、<math>X</math>に<math>B^{-1} A^{-1}</math>を代入すると、
:::<math>(AB)(B^{-1} A^{-1})=AI A^{-1} = A A^{-1} = I</math>
:::<math>(B^{-1} A^{-1})(AB)=B^{-1} I B =B^{-1} B = I </math>
::となり、式が成り立っているので<math>(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}</math>である。
定義(3.2.4)対称区分け
633 ⟶ 626行目:
O & A_{2,2}^{-1}
\end{pmatrix}</math>である。
===行列の累乗===
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