「線形代数学/余因子行列」の版間の差分
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<math>\tilde a_{i,j} = (-1)^{i+j} | A_{i,j} |</math>
をAの(i,j)余因子という。
===余因子展開===
次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。
<math>|A| = a_{j,1} \tilde a_{j,1} + a_{j,2} \tilde a_{j,2} + \cdots + a_{j,n} \tilde a_{j,n} </math><br>
<math>|A| = a_{1,i} \tilde a_{1,i} + a_{2,i} \tilde a_{2,i} + \cdots + a_{n,i} \tilde a_{n,i} </math>
これを、'''余因子展開'''という。
'''証明'''
:<math>|A| = det \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,n}
\end{pmatrix} \cdots (1)</math>
である、ここで、行列Aのi列目<math>\begin{pmatrix} a_{1,j} \\ a_{2,j} \\ \vdots \\ a_{n,j} \end{pmatrix}</math>は、
<math>a_{1,j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2,j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{n,j} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} </math>と表すことができるので、
(1)式は、
<math>
det \left( \mathbf a_1, \cdots, a_{1,j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2,j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{n,j} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}, \cdots, \mathbf a_n \right)
</math>と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、
<math>
a_{1,j} det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & 1 &\cdots& a_{1,n} \\ a_{2,1} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,n} \end{pmatrix} +
a_{2,j} det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n} \\ a_{2,1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,n} \end{pmatrix} + \cdots +
a_{n,j} det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n} \\ a_{2,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & 1 &\cdots& a_{n,n} \end{pmatrix} \cdots (2)
</math>
である。
ここで、<math>det \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n} \\
a_{2,1} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i,1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{i,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,n}
\end{pmatrix}</math>について考える。
この行列のi行目と、i-1行目を入れ替る。i-1行目と、i-2行目を入れ替える。・・・と、続けていくと、次のような行列になる。
<math> (-1)^{i-1} det \begin{pmatrix}
a_{i,1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{i,n} \\
a_{1,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n} \\
a_{2,1} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i-1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i-1,n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i+1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,n}
\end{pmatrix}
</math>
行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は-１倍されるのだった。この操作では、i-1回の入れ替えを行うので、この式は、(-1)<sup>i-1</sup>倍する。
次に、同じように、j列目と、j-1列目を入れ替える。j-1列目と、j-2列目を入れ替える。・・・という操作をする。すると、次のような行列になる。<br>
<math> (-1)^{i+j-2} det \begin{pmatrix}
1 & a_{i,1} & \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{i,n} \\
0 & a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1}&a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n} \\
0 & a_{1,2} & \cdots & a_{2,j-1}&a_{2,j+1}& \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\
0 & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots& a_{n,n}
\end{pmatrix}
</math>
これを、行列式の定義に従って展開する。
一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。
なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、<math>|A_{i,j}|</math>と一致する。
よって、この行列式は、<math>(-1)^{i+j} |A_{i,j}| = \tilde a_{i,j}</math>である。
これを、(2)式に代入すれば、<math>|A| = a_{k,1} \tilde a_{k,1} + a_{k,2} \tilde a_{k,2} + \cdots + a_{k,n} \tilde a_{k,n}</math>となり、証明された。
これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。
===余因子行列===
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