「線形代数学/余因子行列」の版間の差分

\end{pmatrix}

</math>

行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は-１倍されるのだった。この操作では、i-1回の入れ替えを行うので、この式は、(-1)^i-1倍する。

 

次に、同じように、j列目と、j-1列目を入れ替える。j-1列目と、j-2列目を入れ替える。・・・という操作をする。すると、次のような行列になる。<br>

1 & a_{i,1} & \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{i,n} \\

0 & a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1}&a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n} \\

</math>

 

これを、行列式の定義に従って展開する。

一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。

なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、<math>|A_{i,j}|</math>と一致する。

よって、この行列式は、<math>(-1)^{i+j} |A_{i,j}| = \tilde a_{i,j}</math>である。