|
|}
----
== 定義 行列==
{{=== 定義|0.2.1}} ===
mとnを自然数とする。mn個の数<math>a_{1,1}, a_{2,1}, \cdots, a_{m,1}, \cdots, a_{m,n}</math>を、括弧で囲んだ中に次のように縦にm個、横にn個、表のように並べて書いたものを、m行n列の'''行列'''(matrix)と言う。(m×n)-行列とも言う。
'''K'''を[[https://ja.wikipedia.org/wiki/体_(数学) 体]]とする。本書では、実数全体の作る体あるいは複素数全体の作る体と考えてよい。<br/>
:<math>A = \begin{pmatrix}
数mと数nはそれぞれ自然数とする、つまり<math>m,n \in \N</math> とする。mn個の'''K'''の元 <math>a_{i,j}\in\mathbf K(i=1,2,\cdots,m,~j=1,2,\cdots,n)</math>を、丸括弧で囲んだ中に次のように縦にm個、横にn個、表のように並べて書いたものを、m行n列の'''行列'''(matrix)と言う。(m×n)-行列とも言う。
:<math>\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math>
行列を表す時に、（ ）ではなく [ ] で囲むこともしばしばある。本書ではすべて（ ）で統一することにする。
この行列を構成する<math>a_{i,j}\in \mathbf K</math>を行列の'''成分'''(element)と言う。横に並んだ一列を'''行'''(row)、縦に並んだ一列を'''列'''(column)と言う。上からi番目の行を第i行といい、左からj番目の列を第j列と言う。行列内の第i行、第j列に位置する成分を、この行列の(i,j)-成分と言う。しばしば行列AをA=の(a<sub>i,j</sub>)と書くことがあるが、これは(i,j)-成分がa、<submath>a_{i,j}</submath>であるような行列<math>A</math>を示す。成分が全て実数の行列を実行列と言い、成分が全て複素数の行列を複素行列という。また、m<math>A=nの場合、(n×na_{i,j})-行列を特に'''n次正方行列'''あるいは'''n次行列'''</math>と呼ぶ書く。
{{定義終わり}}
行列の第k列の列ベクトルを<math>\mathbf a_k = \begin{pmatrix} a_{1,k} \\ a_{2,k} \\ \vdots \\ a_{m,k} \end{pmatrix} </math>とする。
{{定義|0.2.2}}
行列は、この列ベクトルを用いて、行列は、<math>A = ( \mathbf a_1, \mathbf a_2, \cdots, \mathbf a_n)</math>と表すこともできる。
成分が全て体'''K'''の元であるような(m×n)-行列全体の集合を ''M'' (m,n;'''K''')で表す。特に成分が全て体'''K'''の元であるn次行列全体の集合を ''M'' (n;'''K''')で表す。
同じように、行列の第k行の行ベクトルを<math>\mathbf a_k = ( a_{k,1}, a_{k,2}, \cdots, a_{k,m})</math>としたとき。
{{定義終わり}}
行列は、この行ベクトルを用いて、行列は、<math>A = \begin{pmatrix} \mathbf a_1 \\ \mathbf a_2 \\ \vdots \\ \mathbf a_n \end{pmatrix}</math>と表すこともできる。
{{定義|0.2.3}}
成分が全て0の行列を'''零行列'''（zero matrix）といい、Oと書く。特に(m×n)-行列であることを明示する場合には、O{{sub|m,n}}と書き、n次行列であることを明示する場合にはO{{sub|n}}と書く。
{{定義終わり}}
成分が全て実数の行列を'''実行列'''と言い、成分が全て複素数の行列を'''複素行列'''という。また、m=nの場合、(n×n)-行列を特に'''n次正方行列'''と呼ぶ。
== 相等関係 ==
{{定義|0.2.4}}
=== 相等関係 ===
2つの(m×n)-行列A,Bに関し、AとBが等しいとは、2つの行列の対応する成分が全て等しいことを言う。すなわち、
:<math>A,B \in M(m,n;\mathbf K), A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j}) (i=1,\cdots,m,~j=1,\cdots,n)</math>のとき、
:<math>A = B \iff a_{1,1} = b_{1,1}, a_{2,1} = b_{2,1}, \forallcdots, ia_{m,j1} = b_{m,~1}, \cdots, a_{im,jn} = b_{im,jn}</math>
{{定義終わり}}
== 演算 =加法===
2個のm行n列行列<math>A</math>と<math>B</math>について、行列の和 A+B を次のように定義する。
=== 和・定数倍 ===
2個のm行n列行列<math>A</math>と<math>B</math>について、つまり<math>A,B \in M(m,n;\mathbf K)</math>について、行列の和 A+B を次のように定義する。
{{定義|0.2.5}}
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}+b_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math>
{{定義終わり}}
===スカラー乗法===
また、行列<math>A \in M(m,n;\mathbf K)</math>と定数<math>\lambda \in \mathbf K</math>について、行列の定数倍 <math>\lambda A</math> を次のように定義する。
また、行列<math>A</math>と定数<math>\lambda</math>について、行列の定数倍 <math>\lambda A</math> を次のように定義する。
{{定義|0.2.6}}
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
\lambda a_{m,1} & \lambda a_{m,2} & \cdots & \lambda a_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math>
{{定義終わり}}
{{定義|0.2.7}}
特に、<math>\lambda=-1</math>のとき、(-1)Aを-Aと書く。
また、A+(-B)をA-Bと書く。
{{定義終わり}}
次の性質は明らかであろう。
{{定理|0.2.8}}
m行n列の3個の行列A,行列B,行列Cについて、つまり３個の行列<math>A, B, C \in M(m,n;\mathbf K)</math>について 、任意の２個の定数を<math>\lambda, \mu \in \mathbf K</math>とすると、以下の関係が成り立つ。
* 結合法則: (A+B)+C=A+(B+C)
* 交換法則: A+B=B+A
* <math>\lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda B</math>
* <math>(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A</math>
* <math>(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)</math>
* 1A=A, 0A=O
* A+O=A, A-A=O
{{定理終わり}}
=== 積 ===
２個の行列<math>A</math>と<math>B</math>について、Aの列数とBの行数が同じで<math>A \in M(m,n;\mathbf K), B \in M(n,l;\mathbf K)</math>の場合に、行列の積ABを次のように定義する。
{{定義|0.2.9}}
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{m,1} & c_{m,2} & \cdots & c_{m,l}\\
\end{pmatrix} \in M(m,l;\mathbf K)</math>
と定める。
{{定義終わり}}
この定義は難しく見えるが、行列Aのi行目の行ベクトルと、行列Bのj列目の列ベクトルの内積が行列ABのi,j成分になっているだけである。
'''例題'''
行列<math>A \in M(k,l), B \in M(l,m), C \in M(m,n)</math> について、A(BC)=(AB)Cを証明せよ。
;解答
これは、(1.5)と等しい。よって、(AB)C=A(BC) #
行列の積について、次が成り立つ。
{{定理|0.2.10}}
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K),~B,C \in M(n,l;\mathbf K)</math> のとき、
#: A(B+C)=AB+AC
# <math>A, B \in M(m,n;\mathbf K),~C \in M(n,l;\mathbf K)</math> のとき、
#: (A+B)C=AC+BC
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K)</math> のとき、
#: <math>AO_{n,l}=O_{m,l}, ~O_{k,m}A=O_{k,n}</math>
# 特に、<math>A \in M(n;\mathbf K)</math> のとき、
#: <math>AO_{n}=O_{n}A=O_{n}</math>
{{定理終わり}}
===零行列===
行列成分が全て0の行列を'''零行列'''（zero matrix）といい、<math>0</math>と書く。特に(m×n)-行列であることを明示する場合には、0{{sub|m,n}}と書き、n次正方行列であることを明示する場合には0{{sub|n}}と書く。
任意の行列に、適当な零行列をかけると、常に零行列が得られる。零行列は、実数における0に似ている。
===単位行列===
<math>A=(a_{i,j})</math> に対して、成分<math>a_{k,k}, ~k=1,\cdots,n</math>を、n次正方行列Aの'''対角成分'''（diagonal element）という。
{{定義|0.2.11}}
<math>A=(a_{i,j}) \in M(n;\mathbf K)</math> に対して、成分<math>a_{k,k} \in \mathbf K, ~k=1,\cdots,n</math>を、n次正方行列Aの'''対角成分'''（diagonal element）という。
{{定義終わり}}
行列の対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるような正方行列
{{定義|0.2.12}}
<math>E =\begin{pmatrix}
対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるようなn次正方行列を'''単位行列'''（elementary matrix、あるいはidentity matrix）といい、E<sub>n</sub>やI<sub>n</sub>と表す。nが明らかである場合にはしばしば省略して、EやIと表すこともある。
すなわち、
:<math>I_n =\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}</math>を'''単位行列'''（elementary matrix、あるいはidentity matrix）といい、E<sub>n</sub>やI<sub>n</sub>と表す。nが明らかである場合にはしばしば省略して、EやIと表すこともある。
\end{pmatrix} \in M(n;\mathbf K)</math>
である。
{{定義終わり}}
EやIは、それぞれElementary, Identityの頭文字である。どちらも一般的に用いられるが、本書ではIと表記することにする。
単位行列は次の性質をもつ。
{{定理|0.2.13}}
* <math>A \in M(m,n;\mathbf K), ~ AE_n = A</math>
* <math>B \in M(n,l;\mathbf K), ~ E_nB = B</math>
特に、<math>A \in M(n;\mathbf K)</math>であれば、
: <math>AE_n = E_nA = A</math>
である。
{{定理終わり}}
==行列の演算の性質==
実数における1にあたるものが、単位行列だと思えばよい。
任意の(m,n)行列を<math>A,B,C</math> 、任意の２個の定数を<math>\lambda, \mu</math>、<math>0</math>を零行列、<math>E</math>を単位行列とすると、以下の関係が成り立つ。
#結合法則: <math>(A+B)+C=A+(B+C)</math>
== 転置行列 ==
#交換法則: <math>A+B=B+A</math>
{{定義|0.2.14}}
#<math>\lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda B</math>
<math>A=\begin{pmatrix}
#<math>(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A</math>
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
#<math>(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)</math>
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
#<math>1A=A</math>
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
#<math>0A=0</math>
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
#<math>A+0=A</math>
\end{pmatrix} \in M(m,n;\mathbf K)</math> に対して
:#<math>\begin{pmatrix}A-A=O</math>
#<math>A(B+C)=AB+AC</math>
a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots & a_{m,1}\\
#<math>(A+B)C=AC+BC</math>
a_{1,2} & a_{2,2} & \cdots & a_{m,2}\\
#<math>A0 = 0A = 0</math>
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
#<math>AE = EA = A</math>
a_{1,n} & a_{2,n} & \cdots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix} \in M(n,m;\mathbf K)</math>
をAの'''転置行列'''（transposed matrix）と言い、<math>^tA</math>と表す。
{{定義終わり}}
つまり<sup>t</sup>Aとは、Aの縦横をひっくり返した行列である。
以下のような性質が成り立つ。
{{定理|0.2.15}}
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K)</math>のとき、
#: <math>^t(^tA) = A</math>
# <math>A, B \in M(m,n;\mathbf K)</math>のとき、
#: <math>^t(A+B) = ^tA + ^tB</math>
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K), \lambda \in \mathbf K</math>のとき、
#: <math>^t(\lambda A) = \lambda (^tA)</math>
# <math>A \in M(m,n;\mathbf K),~B \in M(n,l;\mathbf K)</math>のとき、
#: <math>^t(AB) = ^tB ^tA</math>
{{定理終わり}}
<div class="NavFrame" style="margin: 1em auto; width: 93%; clear: both; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;">
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">0.2.15の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;">
<math>A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})</math>とする。
#転置行列とは、行と列を入れ替えた行列なので、2回行と列を入れ替えれば、もとの行列に戻ることは自明である。
#<math>^t(A+B)=a_{ji}+b_{ji}</math>であり、<math>^tA+^tB=a_{ji}+b_{ji}</math>であるから。
#<math>^t(\lambda A) = \lambda a_{ji}</math>であり、<math>\lambda(^tA) = \lambda a_{ji}</math>であるから。
#<math>AB = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j}</math>なので、<math>^t(AB) = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k} b_{k,i}</math>である。次に、<math>^tA = a_{j,i}, ^tB = b_{j,i}</math>であるので、<math>^tA ^tB = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k} b_{k,i}</math>であるから。
ただし、<math>n</math>を<math>A</math>の列数とする。
</div></div>
== 複素行列 ==
ある行列Aのすべての成分の複素共役を取った行列<math>\overline A= \begin{pmatrix} \overline a_{1,1} & \cdots & \overline a_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \overline a_{n,1} & \cdots & \overline a_{m,n} \end{pmatrix}</math>
この項では、<math>\mathbf K = \Complex</math>として話を進める。
を、'''複素共役行列'''（complex conjugate matrix）という。
{{定義|0.2.16}}
行列 <math>A=(a_{i,j}) \in M(m,n;\Complex)</math> の全ての成分をその複素共役と置き換えた行列
:<math>(\overline{a_{i,j}}) \in M(m,n;\Complex)</math>
を、Aの'''複素共役行列'''（complex conjugate matrix）といい、<math>\overline{A}</math> で表す。
{{定義終わり}}
以下のような性質がある。
{{定理|0.2.17}}
<math>A, B \in M(m,n;\Complex), ~C \in M(n,l;\Complex), ~\lambda \in \Complex</math>のとき、
* <math>\overline{\overline{A}}=A</math>
* <math>\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}</math>
* <math>\overline{\lambda A}=\overline{\lambda}~\overline{A}</math>
* <math>\overline{AC}=\overline{C}~\overline{A}</math>
{{定理終わり}}
一番最後の式には注意せよ。とりあえず、ここで一休みして、演習をやろう。
'''例'''
:気付いた人もいると思うが、(m,1)型行列はm項ベクトルである。特に、''m項列ベクトル''、''m項縦ベクトル''と言う。高校の教育課程を学んだ人は、(1,n)型行列が表す、''n項行ベクトル''、''n項横ベクトル''にも馴染みがあるだろう。(だが本来はベクトルは縦ベクトルで書くべきなのだ)そこで、(m,n)型行列Aを縦ベクトルn個('''a'''<sub>1</sub>,'''a'''<sub>2</sub>,...,'''a'''<sub>n</sub>)に分割するとき、
::A=('''a'''<sub>1</sub> '''a'''<sub>2</sub> ... '''a'''<sub>n</sub>)
:と表せる。また、同様に横ベクトルm個('''b'''<sub>1</sub>,'''b'''<sub>2</sub>,...,'''b'''<sub>ｍ</sub>)
:分割したとすれば、
::<math>A=\begin{pmatrix}
\mathbf{b}_1\\
\mathbf{b}_2\\
\dots\\
\mathbf{b}_m\\
\end{pmatrix}</math>と書ける。
:単位行列E<sub>n</sub>をn個の縦ベクトルに分割したときの、そのベクトルをn項単位ベクトルと言う。これは、ベクトルの項でのべた、2,3次における単位ベクトルの定義の一般化である。Eのことを単位行列と言う意味が分かっただろうか。ここでAを、(l,m)型Bを(m,n)型と定義しなおし、
:この事実は、定理(2.2)の特殊化である。
:数学とは関係ないが、ウィキ文では縦ベクトルをあらわすときも、行列を表す時も、<nowiki>\begin{pmatrix}~\end{pmatrix}</nowiki>の形をしている
| 