「線形代数学/余因子行列」の版間の差分

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88 行
 
<math>\tilde A = (\tilde a_{j,i})</math>をAの余因子行列という。
 
余因子行列には、以下の性質がある。
:<math>A \tilde A = \tilde A A = |A|E</math>
 
'''証明'''
 
<math>\tilde A A = \begin{pmatrix} \tilde a_{1,1} & \cdots & \tilde a_{m,1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde a_{1,n} & \cdots & \tilde a_{m,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}</math>なので、
行列<math>\tilde A A</math>の(i,j)成分は、
 
<math>a_{1,i} \tilde a_{1,j} + a_{2,i} \tilde a_{2,j} + \cdots + a_{n,i} \tilde a_{n,j} \cdots (1)</math>である。
 
 
(i)i=jのとき
:(1)式は、行列Aのi列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式はi=jのとき、<math>|A|</math>である。<br>
(ii)i≠jのとき
:行列Aのi列目が行列Aのj列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。<br>
:<math>
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,j} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & \cdots & a_{2,i-1} & a_{2,j} & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2,j} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{n,j} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,n} \\
\end{vmatrix}
</math>
 
:この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。
:同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、i≠jのとき、0である。 <br>
まとめると、<math>a_{1,i} \tilde a_{1,j} + a_{2,i} \tilde a_{2,j} + \cdots + a_{n,i} \tilde a_{n,j} =
\begin{cases}
|A| (i=j) \\
0 (i \neq j) \\
\end{cases}
</math>である。
よって<math>\tilde A A = |A|E</math>である。同様の議論を行えば、<math>A \tilde A = |A|E</math>も導くことができる。