「集合論」の版間の差分

'''命題'''<ref name="AC" />　''X''が空集合でないとき、写像<math>f:X \to Y</math>が単射であることは、<math>r \circ f=id_X</math>を満たす写像<math>r:Y \to X</math>（''f''の左逆写像、またはレトラクトという）が存在することと同値である。また、写像<math>f:X \to Y</math>が全射であることは、<math>f \circ s=id_Y</math>を満たす写像<math>s:Y \to X</math>（''f''の右逆写像、またはセクションという）が存在することと同値である。

'''命題^*<ref name="AC">この節の中で「^*」を付した命題は、選択公理のもとで成り立つ命題である。このページでは[[公理的集合論]]には深く立ち入らないが、気になる読者のために軽く述べておくと、現代的な集合論は集合を「ものの集まり」といった漠然とした形で定義せず、いくつかの公理を満たすものとして定義している。これを公理的集合論という。この公理は当然直感的に「成り立ちそう」な公理を集めているのだが、その中にある選択公理という公理は「怪しい」結果を招くことから歴史的に他の公理である群と区別されており、認める立場と認めない立場があるきた。そのため、選択公理を含まない公理系でも成り立つ命題なのか、選択公理を含む公理系でしか成り立たない命題なのかは、このように区別することがしばしばある。</ref>'''　集合Aが有限集合であることは、Aと対等なAの真部分集合が存在しないことと同値。