ガロア理論/正規拡大

定義(共役体)

体の拡大 $K/F,K'/F$ についてこれらが互いに共役、あるいは $K$ が $K'$ の $F$ 上の共役体であるとは、$K,K'$ をどちらも含む拡大体 $L$ が存在し、かつ $F$ 上同型であることをいう。

命題 1

体の代数拡大 $K/F$ について、以下は同値。

(i) $K/F$ の $F$ 上の共役体は $K$ のみである
(ii) $K$ の代数閉包 $\Omega$ および $F$ 上の同型写像 $\sigma :\Omega \rightarrow \Omega$ について $\sigma (K)=K$
(iii) $\alpha \in K$ の最小多項式 $f(X)$ は、$\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\in K$ で $f(X)=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$ と書ける

証明

(i) ⇒ (ii):
$\sigma (K)/F$ は $K/F$ と共役であるので、$\sigma (K)=K.$

(ii) ⇒ (iii):
$\Omega$ を $K$ の代数閉包として、$\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}\in \Omega$ があって $f(X)=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$ と書ける。$\sigma :K(\alpha )\rightarrow K(\alpha _{i})$ を $\alpha \mapsto \alpha _{1}$ で定めることができ、これをガロア理論/代数的閉体#定理2-(ii)を使って $\sigma :\Omega \rightarrow \Omega$ に拡張する。このとき、$\alpha _{i}=\sigma (\alpha )\in \sigma (K)=K$ となって示された。

(iii) ⇒ (i):
$K'$ を $K$ の $F$ 上の共役体として、$L$ を $K,K'$ を含む拡大体、$phi:K\rightarrow K'$ を $F$ 上の同型写像とする。$\alpha _{1}\in K$ に対して $\alpha _{1}'=\phi (\alpha _{1})$ として、$f(X)=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})\ \ \ (\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\in K)$ を $\alpha$ の $F$ 上の最小多項式とする。このとき、$\phi (f(X))=(X-\alpha _{1}')\cdots (X-\alpha _{n}')\ \ \ (\alpha _{i}'=\phi (\alpha _{i}))$ であり、$X=\alpha _{1}$ とすれば、$L$ 内で $0=(\alpha _{1}-\alpha _{1}')(\alpha _{1}-\alpha _{2}')\cdots (\alpha _{1}-\alpha _{n}')$ を得る。よって、$\alpha _{1}=\alpha _{i}'\in \phi (K)$ となり、$K\subseteq \phi (K)=K'$ となる。ここから $K'=\phi ^{-1}(K)\subseteq \phi ^{-1}(K')=K$ となり、よって $K=K'$ である。

定義(正規拡大)

上の命題の(i), (ii) 及び (iii) を満たす体の代数拡大を正規拡大という。

命題2

正規拡大 $K/F$ と $\alpha ,\beta \in K$ について、以下は同値。

(i) $\alpha ,\beta$ の最小多項式が一致する
(ii) $F$ 上の $K$ の自己同型で、$\alpha$ を $\beta$ に移すものがある

証明

(i) ⇒ (ii):
命題1 の (ii) ⇒ (iii) の証明で構成ように、代数閉包 $\Omega$ について $\sigma :\Omega \rightarrow \Omega ,\alpha \rightarrow \beta$ があり、正規拡大という仮定から $\sigma |K:K\rightarrow K$ は同型写像である。

(ii) ⇒ (i):
$f(\beta )=f(\sigma (\alpha ))=\sigma (f(\alpha ))=0.$

命題3

体の拡大 $K/F$ について、以下は同値。

(i) $K/F$ は有限次正規拡大である
(ii) $K$ は、ある $f(X)\in F[X]$ の最小分解体である

証明