ガロア理論/Galois拡大

定義(ガロア群)

体の拡大 $K/F$ に対して、体 $F$ 上の自己同型群を $G(K/F)=\operatorname {Gal} (K/F)$ と書いて、$K/F$ の ガロア群 という。

定義

体の拡大 $K/F$ と $G(K/F)$ の部分群 $H$ に対して、その不変体を $F(H)=\{\alpha \in K:\forall \sigma \in H(\sigma (\alpha )=\alpha )\}$ とする。不変体は $K/F$ の中間体であることに注意。

命題1

体の代数拡大 $K/F$ に対して以下は同値。

(i) $K/F$ は分離かつ正規拡大である
(ii) $F(G(K/F))=F$
(iii) $G(K/F)$ のある部分群 $H$ で $F=F(H)$ となる (iv) $|G(K/F)|=[K:F]$

証明

(i) ⇒ (ii):
$F\subseteq F(G(K/F))$ は自明。逆の包含を示す。