「線型代数学/行列概論」の版間の差分
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191 行
#<math>A0 = 0A = 0</math>
#<math>AE = EA = A</math>
== 転置行列 ==
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix}</math> に対して
:<math>\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & \cdots & a_{m,2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & \cdots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math>
をAの'''転置行列'''（transposed matrix）と言い、<math>^tA</math>と表す。
つまり<math>^tA</math>とは、<math>A</math>の縦横をひっくり返した行列である。
以下のような性質が成り立つ。
# <math>^t(^tA) = A</math>
# <math>^t(A+B) = ^tA + ^tB</math>
# <math>^t(\lambda A) = \lambda (^tA)</math>
# <math>^t(AB) = ^tB ^tA</math>
;証明
<math>A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})</math>とする。
#転置行列とは、行と列を入れ替えた行列なので、2回行と列を入れ替えれば、もとの行列に戻ることは自明である。
#<math>^t(A+B)=a_{ji}+b_{ji}</math>であり、<math>^tA+^tB=a_{ji}+b_{ji}</math>であるから。
#<math>^t(\lambda A) = \lambda a_{ji}</math>であり、<math>\lambda(^tA) = \lambda a_{ji}</math>であるから。
#<math>AB = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j}</math>なので、<math>^t(AB) = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k} b_{k,i}</math>である。次に、<math>^tA = a_{j,i}, ^tB = b_{j,i}</math>であるので、<math>^tA ^tB = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k} b_{k,i}</math>であるから。
ただし、<math>n</math>を<math>A</math>の列数とする。
== 複素行列 ==
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