「ガロア理論/単拡大」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
Angol Mois (トーク | 投稿記録) ページの作成:「;定義(単拡大) 体の拡大 <math>K/F</math> が単拡大(単純拡大)であるとは、<math>K = F(\alpha)</math> となる <math>\alpha</math> が…」 |
Angol Mois (トーク | 投稿記録) |
||
23 行
;証明
<math>K/F</math> を有限次分離拡大とする。<math>M \neq F, K</math> を中間体として、<math>H = \operatorname{Aut}(K/M)</math> を <math>M</math> 上の <math>K</math> の自己同型のなす群として、<math>N = K^H = \{ x \in K : \forall \sigma \in H (\sigma(x) = x) \}</math> とおく。このとき明らかに <math>M \subseteq N</math> である。
<math>K/M</math> は有限次分離拡大であり、拡大次数についての帰納法によって <math>K = M(\alpha)</math> とすれば、<math>\alpha'</math> を <math>\alpha</math> の共役元として、<math>K = M(\alpha) \rightarrow M(\alpha') = K, \alpha \mapsto \alpha'</math> という自己同型がある([[ガロア理論/分離拡大]]参照)ので、<math>H \neq {1_K}</math> である。したがって、<math>K \neq N</math> である。
さて、<math>H \neq \{1\}</math> は有限群 <math>G = \operatorname{Aut}(K/F)</math> の部分群であり、そのような全ての <math>H</math> に対して <math>K^H</math> を考える。すると、<math>K/F</math> の真の中間体は、ある部分群 <math>H</math> について <math>K^H/F</math> の部分体であり、そのようなものは帰納法の仮定により有限個である。したがって、部分群 <math>H</math> は高々有限であるから、<math>K/F</math> の中間体は有限個である。
よって原始元定理によって示された。
[[Category:数学]]
<!--[[Category:代数学]][[Category:ガロア理論|たんかくたい]]-->
| |||