「線型代数学/線型空間」の版間の差分
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'''定義''' ベクトル<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>に対して、<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0</math>
:ベクトル<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>が線形独立でないとき、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は'''線型従属'''(linearly dependent)であるという。
48 行
'''定義''' <math>K</math>上のベクトル空間<math>V</math>の部分集合<math>S = \{ v_1,v_2, \cdots , v_n \}</math>に対し、
:<math> \langle S \rangle = \{ \sum_{i=1}^n a_i v_i | a_i \in K \}</math>を<math>S</math>が<math>K</math>上で生成する部分空間といい、<math>S</math>をこの部分空間の'''生成系'''という。
'''命題''' <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in V</math>が線型独立であるならば、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>は線型独立であり、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>が成り立つ。
=== 基底と次元 ===
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も<math>\mathbb{R}^3</math>の基底である。
'''命題''' <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底であることと、<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>かつ<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が線型独立であることは同値である。
'''命題''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>と<math>y_1,y_2,\dots,y_{n'}</math>を<math>V</math>の基底とすると、<math>n=n'</math>
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公理3は一見すると公理2から導かれるように見えるが、そうではない。なぜならば、空集合は公理1,2を満たすが、公理3を満たさない。公理3は空集合は部分空間と呼ばないようにするための公理である。
'''命題''' <math>V</math>を線型空間、<math>W</math>を<math>V</math>の線型部分空間
== 線型写像 ==
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