「線型代数学/線型空間」の版間の差分

'''定義''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>という<math>V</math>の基底が存在するとき、<math>n</math>を<math>V</math>の'''次元'''（dimension）といい<math>\dim V</math>であらわす。このとき<math>V</math>は<math>n</math>次元<math>K</math>線型空間であるという。

 

 

実は、無限次元線型空間には無限個の元からなる基底が存在することが知られている。例えば、上で例としてあげた線型空間は最初の<math>K^n</math>以外は無限次元の線型空間であるが、<math>K[X]</math>には<math>1,X,X_2,X_3,\cdots</math>という基底がある。<math>C^\infty(\mathbb{R})</math>の基底や<math>\mathbb{R}</math>の<math>\mathbb{Q}</math>上の基底はここまで簡単に書き表すことはできないが、存在することは知られている。

公理3は一見すると公理2から導かれるように見えるが、そうではない。なぜならば、空集合は公理1,2を満たすが、公理3を満たさない。公理3は空集合は部分空間と呼ばないようにするための公理である。

 

 

== 線型写像 ==