「線型代数学/線型空間」の版間の差分

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:<math> \langle S \rangle = \{ \sum_{i=1}^n a_i v_i | a_i \in K \}</math>を<math>S</math>が<math>K</math>上で生成する部分空間といい、<math>S</math>をこの部分空間の'''生成系'''という。
 
'''命題''' <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in V</math>が線独立であるならばことと、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>独立でありかつ、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>が成り立つであることは同値である
 
'''証明''' まずは、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in V</math>が線形独立ならば、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>が線形独立かつ、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>であることを示す。
 
:<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} + 0 \cdot v_n = 0</math>について考える�。<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in V</math>が線形独立なので、それぞれの係数は0になるはずである。よって<math>a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0</math>なので、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>は線形独立である。
 
:<math>\mathbf v_{n} \in \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>と仮定すると、<math>\mathbf v_{n} = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a _{n-1} \mathbf v_{n-1} </math>と表すことができる。移行して、<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a _{n-1} \mathbf v_{n-1} - \mathbf v_n = 0</math>となる。<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は線形独立なので、各係数は0になるはずだが、<math>\mathbf v_n</math>の係数は-1なので矛盾。よって<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>
 
:次に、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>が線形独立かつ、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>ならば、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は線形独立であることを示す。
 
:<math>a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0</math>について考える。<math>a_n \neq 0</math>と仮定すると、<math>\mathbf v_n = - \frac{a_1}{a_n} \mathbf v_1 - \cdots - \frac{a_{n-1}}{a_n} \mathbf v_{n-1}</math>となるが、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>なので、矛盾。よって<math>a_n = 0</math>
:<math>a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0</math>は<math>a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} = 0</math>となるが、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>は線形独立なので、<math>a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0</math>となる。よって<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は線形独立。
 
=== 基底と次元 ===