「線型代数学/線型空間」の版間の差分

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も<math>\mathbb{R}^3</math>の基底である。
 
'''命題''' <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底であることと、<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>かつ<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が線独立であることは同値である。
 
'''証明''' まずは、<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底であるなら、<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>かつ<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が線形独立であることを証明する。
:任意の<math>w \in V</math>は、<math>a_1, \cdots, a_n \in K</math>をつかって、<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n</math>と表すことができるので、<math>w \in \langle v_1,v_2, \cdots,v_n \rangle</math>なので、<math>V \subset \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>
:任意の<math>w \in \langle v_1,v_2, \cdots, v_n \rangle</math>は<math>w \in V</math>となるので、<math>\langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle \subset V</math>よって<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>
:<math> 0 \in V</math>は<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0</math>と表すことができいる。<math>a_1, \cdots, a_n \neq 0</math>と仮定すると、両辺をk倍して<math>k a_1 \mathbf v_1 + k a_2 \mathbf v_2 + \cdots + k a_n \mathbf v_n = 0</math>と表すこともできるが、これは<math>v_1, v_2, \cdots, v_n</math>が<math>V</math>の基底であることに反する、よって<math>a_1 = \cdots = a_n = 0</math>よって、<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>は線形独立である。
:次に、<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>かつ<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が線形独立ならば<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底であることを証明する。
:任意の<math>w \in \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle </math>は<math>w = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = b_1 \mathbf v_1 + b_2 \mathbf v_2 + \cdots + b_n \mathbf v_n</math>と表すことができるので。
:<math>( a_1 - b_1 ) \mathbf v_1 + ( a_2 - b_2 ) \mathbf v_2 + \cdots + (a_n - b_n ) \mathbf v_n = 0</math>となる。
:<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>は線形独立なので、<math>(a_1 - b_1 ) = \cdots = (a_n - b_n ) = 0</math>よって<math>a_1 = b_1 , \cdots , a_n=b_n</math>となり、一意に表すことができるので、
:<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底である。
 
 
'''命題''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>と<math>y_1,y_2,\dots,y_{n'}</math>を<math>V</math>の基底とすると、<math>n=n'</math>