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'''証明''' まずは、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in V</math>が線形独立ならば、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>が線形独立かつ、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>であることを示す。
:<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} = 0</math>とする。このとき、<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} + 0 \cdot \mathbf v_n = 0</math>について考えである�。<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n\in V</math>が線形独立なので、それぞれの係数は0になるはずである。よって<math>a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0</math>なのである。よって、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>は線形独立である。
:<math>\mathbf v_{n} \in \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>と仮定すると、<math>\mathbf v_{n} = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a _{n-1} \mathbf v_{n-1} </math>と表すことができる。移行項して、<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a _{n-1} \mathbf v_{n-1} - \mathbf v_n = 0</math>となる。<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は線形独立なので、各係数は0になるはずだが、<math>\mathbf v_n</math>の係数は-1なので矛盾。よって<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>
:次に、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>が線形独立かつ、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>ならば、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は線形独立であることを示す。
:<math>a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0</math>について考えとする。<math>a_n \neq 0</math>と仮定すると、<math>\mathbf v_n = - \frac{a_1}{a_n} \mathbf v_1 - \cdots - \frac{a_{n-1}}{a_n} \mathbf v_{n-1}</math>となるが、<math>\mathbf v_{n} \notin \langle \mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1} \rangle</math>なので、矛盾。よって<math>a_n = 0</math>であるから、<math>a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} = 0</math>となるが、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>は線形独立なので、<math>a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0</math>となる。よって<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は線形独立。//
:<math>a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0</math>は<math>a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_{n-1} \mathbf v_{n-1} = 0</math>となるが、<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_{n-1}</math>は線形独立なので、<math>a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1} = 0</math>となる。よって<math>\mathbf v_1,\mathbf v_2,\cdots,\mathbf v_n</math>は線形独立。 ▼
=== 基底と次元 ===
一般の線型空間においてもこのようなベクトルの組があれば便利である。そのようなものがあるとき、このベクトルの組に特別な名前をつけよう。
'''定義''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>を<math>V</math>の元の組とする。<math>V</math>の任意の元<math>x</math>に対し、<math>x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math>となる<math>K</math>の元の組<math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math>が一意に決ま存在するとき、<math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>は<math>V</math>の'''基底'''（basis）であるという。
注意すべきなのは、基底は一つの線型空間に対し一組とは限らないということである。たとえば、先ほどの<math>e_1,e_2,e_3</math>も<math>\mathbb{R}^3</math>の基底であるが、一方
'''証明''' まずは、<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底であるなら、<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>かつ<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が線形独立であることを証明する。
:任意の<math>\langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle \subset V</math>は明らかである。<math>w \in V</math>はを任意にとると、<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底であることから、<math>a_1, \cdots, a_n \in K</math>をつかって、<math>w=a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n</math>と表すことができるので、<math>w \in \langle v_1,v_2, \cdots,v_n \rangle</math>なのである。よって、<math>V \subset \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>であるから、<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>である。
▲:<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0</math> はとする。このとき、両辺を2倍すると<math> 2 a_1 \mathbf v_1 + 2 a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_{n-1}2 a_n \mathbf v_{n-1}v_n = 0</math>となるが、<math> a_1=a_2=\ mathbfcdots=a_n=0</math>が成り立たないと仮定すると<math>a_1 v_1\ne 2a_1, a_2 \ mathbfne v_22a_2,\cdots, a_n \ mathbfne v_{n-1}2a_n</math> のうちのいずれかは 線形独成り立 なつ。これは<math>v_1, v_2, \cdots, v_n</math>が<math>V</math>の基底であることに反するので、<math>a_1 = a_2 = \cdots = a_{n-1}a_n = 0</math> となである。よって 、<math> \mathbf v_1, \mathbf v_2,\cdots, \mathbf v_n</math>は線形独立 である。
:任意の<math>w \in \langle v_1,v_2, \cdots, v_n \rangle</math>は<math>w \in V</math>となるので、<math>\langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle \subset V</math>よって<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>
:<math> 0 \in V</math>は<math>a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = 0</math>と表すことができいる。<math>a_1, \cdots, a_n \neq 0</math>と仮定すると、両辺をk倍して<math>k a_1 \mathbf v_1 + k a_2 \mathbf v_2 + \cdots + k a_n \mathbf v_n = 0</math>と表すこともできるが、これは<math>v_1, v_2, \cdots, v_n</math>が<math>V</math>の基底であることに反する、よって<math>a_1 = \cdots = a_n = 0</math>よって、<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>は線形独立である。
:次に、<math>V = \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>かつ<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が線形独立ならば<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底であることを証明する。
:任意の<math>wV \in= \langle v_1,v_2,\cdots,v_n \rangle</math>のとき、任意の<math>w \in V</math>は<math>w = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n</math>と表せる。<math>w = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = b_1 \mathbf v_1 + b_2 \mathbf v_2 + \cdots + b_n \mathbf v_n</math>と表すことができるとすると、<math>( a_1 - b_1 ) \mathbf v_1 + ( a_2 - b_2 ) \mathbf v_2 + \cdots + (a_n - b_n ) \mathbf v_n = 0</math>となる。ところが、<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>は線形独立なので、<math>(a_1 - b_1 ) = \cdots = (a_n - b_n ) = 0</math>である。よって<math>a_1 = b_1 , \cdots , a_n=b_n</math>となり、表し方は一意であることが分かった。すなわち、<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底である。//
:<math>( a_1 - b_1 ) \mathbf v_1 + ( a_2 - b_2 ) \mathbf v_2 + \cdots + (a_n - b_n ) \mathbf v_n = 0</math>となる。
:<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>は線形独立なので、<math>(a_1 - b_1 ) = \cdots = (a_n - b_n ) = 0</math>よって<math>a_1 = b_1 , \cdots , a_n=b_n</math>となり、一意に表すことができるので、
:<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>が<math>V</math>の基底である。
'''命題''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>と<math>y_1,y_2,\dots,y_{n'}</math>を<math>V</math>の基底とすると、<math>n=n'</math>
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