「有限群論序論」の版間の差分

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群の公理だけからわかることについてみてきたが、その公理を満たすような対象として具体的にどのようなものがあるかということも重要である。ここではそのような例を挙げてみる。
 
まず、代数構造の例として述べた2つの例についてみてみよう。ここで挙げた2つのうち、<math>(\mathbb{Z},+)</math>は群である。一方で、<math>(\mathbb{R},\cdot)</math>は群ではない。0の逆元が存在しないからである。一方、<math>\mathbb{R}^\times :=\mathbb{R} \setminus \{0\}</math>は積を演算として群である。これらの群は明らかにアーベル群である。
 
一方、次のような群の例もある。集合''X''上の全単射<math>f:X \to X</math>をすべて集めた集合をSym(''X'')とする。Sym(''X'')は写像の合成を演算として群になる。単位元は恒等写像、逆元は逆写像である。これは一般にアーベル群にはならない。
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対称群の元のうち、<math>i_l(1 \le l \le m-1)</math>を<math>i_{l+1}</math>に、<math>i_m</math>を<math>i_1</math>に写し、他の元は動かさない写像を、<math>(i_1 \ i_2 \ i_3 \ \cdots \ i_m)</math>と表記する。このような元を'''巡回置換'''(permutation)と呼ぶ。対称群の元はいくつかの巡回置換の積として表される。特に<math>m=2</math>の巡回置換を'''互換'''(transposition)と呼ぶ。巡回置換はいくつかの互換の積として表されるので、結局対称群の元はいくつかの互換の積として表される。群の言葉を使わずに言えば、すべての並べ替えはあみだくじを使って実現することができる。
たとえば、<math>(1324)</math>は1を3に、3を2に、2を4に、4を1に写す巡回置換である。<math>(53)</math>は5を3に、3を5に写す互換である。
 
== 部分群 ==
=== 部分群 ===
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===正規部分群===
群''G''の部分群''H''がさらに下の条件を満たすとき、''H''は'''正規部分群'''(normal subgroup)であるといい、<math>G \vartriangleright H</math>と書く。
 
''g'' &isin; ''G'' , ''h'' &isin; ''H'' &rArr; ''g'' &middot; ''h'' &middot; ''g''<sup>-1</sup> &isin; ''H''