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「線型代数学/行列概論」の版間の差分

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10 行
==行列==
=== 定義 ===
<math>m</math>と<math>n</math>を自然数とする。<math>mn</math>個の数<math>a_{1,111}, a_{2,121}, \cdots, a_{m,1m1}, \cdots, a_{m,nmn}</math>を、括弧で囲んだ中に次のように縦に<math>m</math>個、横に<math>n</math>個、表のように並べて書いたものを、<math>m</math>行<math>n</math>列の'''行列'''(matrix)と言う。(m&times;n)-行列とも言う。
:<math>A = \begin{pmatrix}
a_{1,111} & a_{1,212} & a_{1,313} & \dots & a_{1,n1n}\\
a_{2,121} & a_{2,222} & a_{2,323} & \dots & a_{2,n2n}\\
a_{3,131} & a_{3,232} & a_{3,333} & \dots & a_{3,n3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1m1} & a_{m,2m2} & a_{m,3m3} & \dots & a_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math>
 
この行列を構成する<math>a_{i,jij}</math>を行列の'''成分'''(element)と言う。横に並んだ一列を'''行'''(row)、縦に並んだ一列を'''列'''(column)と言う。上から<math>i</math>番目の行を第<math>i</math>行といい、左から<math>j</math>番目の列を第<math>j</math>列と言う。行列内の第<math>i</math>行、第<math>j</math>列に位置する成分を、この行列の<math>(i,j)</math>-成分と言う。行列Aの<math>(i,j)</math>成分が、<math>a_{i,jij}</math>である行列<math>A</math>を<math>A=(a_{i,jij})</math>と書く。
 
行列の第k列の列ベクトルを<math>\mathbf a_k = \begin{pmatrix} a_{1,k1k} \\ a_{2,k2k} \\ \vdots \\ a_{m,kmk} \end{pmatrix} </math>とする。
行列は、この列ベクトルを用いて、行列は、<math>A = ( \mathbf a_1, \mathbf a_2, \cdots, \mathbf a_n)</math>と表すこともできる。
同じように、行列の第k行の行ベクトルを<math>\mathbf a_k = ( a_{k,1k1}, a_{k,2k2}, \cdots, a_{k,mkm})</math>としたとき。
行列は、この行ベクトルを用いて、行列は、<math>A = \begin{pmatrix} \mathbf a_1 \\ \mathbf a_2 \\ \vdots \\ \mathbf a_n \end{pmatrix}</math>と表すこともできる。
 
 
成分が全て実数の行列を'''実行列'''と言い、成分が全て複素数の行列を'''複素行列'''という。また、<math>m=n</math>の場合、(n&times;n)-行列を特に'''n次正方行列'''と呼ぶ。
 
=== 相等関係 ===
2つの(m&times;n)-行列<math>A,B</math>に関し、<math>A</math>と<math>B</math>が等しいとは、2つの行列の対応する成分が全て等しいことを言う。すなわち、
:<math>A=(a_{i,jij}), B=(b_{i,jij})</math>のとき、
:<math>A = B \iff \forall i,j , a_{ij} = b_{ij}</math>
 
37 行
2個のm行n列行列<math>A</math>と<math>B</math>について、行列の和 A+B を次のように定義する。
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,111} & a_{1,212} & \cdots & a_{1,n1n}\\
a_{2,121} & a_{2,222} & \cdots & a_{2,n2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1m1} & a_{m,2m2} & \cdots & a_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math>, <math>B=\begin{pmatrix}
b_{1,111} & b_{1,212} & \cdots & b_{1,n1n}\\
b_{2,121} & b_{2,222} & \cdots & b_{2,n2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m,1m1} & b_{m,2m2} & \cdots & b_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math> のとき、
:<math>A+B=\begin{pmatrix}
a_{1,111}+b_{1,111} & a_{1,212}+b_{1,212} & \cdots & a_{1,n1n}+b_{1,n1n}\\
a_{2,121}+b_{2,121} & a_{2,222}+b_{2,222} & \cdots & a_{2,n2n}+b_{2,n2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1m1}+b_{m,1m1} & a_{m,2m2}+b_{m,2m2} & \cdots & a_{m,nmn}+b_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math>
 
<math>A=(a_{ij}),B=(b_{ij})</math>のとき、<math>A+B=(a_{ij} + b_{ij})</math>と表現することもできる。
 
===スカラー乗法===
また、行列<math>A</math>と定数<math>\lambda</math>について、行列の定数倍 <math>\lambda A</math> を次のように定義する。
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,111} & a_{1,212} & \cdots & a_{1,n1n}\\
a_{2,121} & a_{2,222} & \cdots & a_{2,n2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1m1} & a_{m,2m2} & \cdots & a_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math> のとき、
:<math>\lambda A=\begin{pmatrix}
\lambda a_{1,111} & \lambda a_{1,212} & \cdots & \lambda a_{1,n1n}\\
\lambda a_{2,121} & \lambda a_{2,222} & \cdots & \lambda a_{2,n2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda a_{m,1m1} & \lambda a_{m,2m2} & \cdots & \lambda a_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math>
特に、<math>\lambda=-1</math>のとき、<math>(-1)A</math>を<math>-A</math>と書く。
 
また、<math>A+(-B)</math>を<math>A-B</math>と書く。
 
 
=== 積 ===
２個の行列<math>A</math>と<math>B</math>について、Aの列数とBの行数が同じで<math>A, B</math>の場合に、行列の積<math>AB</math>を次のように定義する。
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,111} & a_{1,212} & \cdots & a_{1,n1n}\\
a_{2,121} & a_{2,222} & \cdots & a_{2,n2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1m1} & a_{m,2m2} & \cdots & a_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math> ,
<math>B=\begin{pmatrix}
b_{1,111} & b_{1,212} & \cdots & b_{1,l1l}\\
b_{2,121} & b_{2,222} & \cdots & b_{2,l2l}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n,1n1} & b_{n,2n2} & \cdots & b_{n,lnl}\\
\end{pmatrix}</math> のとき、AとBの積ABを
: <math>c_{i,jij}=\sum_{k=1}^n a_{i,kik}b_{k,jkj} = a_{i,1i1}b_{1,j1j} + a_{i,2i2}b_{2,j2j} + \cdots + a_{i,nin}b_{n,jnj}~(i=1,\cdots,m,~j=1,\cdots,l)</math> によって
: <math>AB=\begin{pmatrix}
c_{1,111} & c_{1,212} & \cdots & c_{1,l1l}\\
c_{2,121} & c_{2,222} & \cdots & c_{2,l2l}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{m,1m1} & c_{m,2m2} & \cdots & c_{m,lml}\\
\end{pmatrix}</math>
と定める。
この定義は難しく見えるが、行列<math>A</math>の<math>i</math>行目の行ベクトルと、行列<math>B</math>の<math>j</math>列目の列ベクトルの内積が行列<math>AB</math>の<math>(i,j)</math>成分になっているだけである。
 
行列同士の積は全ての二行列に対して定義されているわけではない。(m&times;n)-行列と(n&times;l)-行列の間にのみ定義されているのである。
102 ⟶ 104行目:
次の計算をせよ。
:<math>\begin{pmatrix}
-7 & -6 & -5\\
-4 & -3 & -2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 &1\\
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7\\
\end{pmatrix}</math>
 
114 ⟶ 116行目:
:<math>\begin{align}
\begin{pmatrix}
-7 & -6 & -5\\
-4 & -3 & -2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 &1\\
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7\\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
(-7)(-1)+(-6)\times 2+(-5)\times 5 & (-7)\times 0+(-6)\times 3+(-5)\times 6
& (-7)\times 1+(-6)\times 4+(-5)\times 7\\
(-4)(-1)+(-3)\times 2+(-2)\times 5 & (-4)\times 0+(-3)\times 3+(-2)\times 6
& (-4)\times 1+(-3)\times 4+(-2)\times 7\\
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
-30 & -48 & -66\\
-12 & -21 & -30\\
\end{pmatrix}
\end{align}</math>
136 ⟶ 138行目:
'''例題'''
 
行列<math>A,B,C</math> について、<math>A(BC)=(AB)C</math>を証明せよ。
 
;解答
144 ⟶ 146行目:
(p=1,2,...,k;q=1,2,...,l;r=1,2,...,m;s=1,2,...n)とすると、
 
<math>AB</math>の<math>(p,r)</math>成分は<math>\sum_{q=1}^l </math>
 
 
よって<math>(AB)C</math>の<math>(p,s)</math>成分は
 
<math>\sum_{r=1}^m\sum_{q=1}^l a_{p,q}b_{q,r}c_{r,s}</math>　　　　　(1.5)
 
一方、<math>BC</math>の<math>(q,s)</math>成分は<math>\sum_{r=1}^r b_{q,r}c_{r,s}</math>なので、
 
<math>A(BC)</math>の<math>(p,s)</math>成分は、
 
<math>\sum_{q=1}^l\sum_{r=1}^m b_{q,r}c_{r,s}a_{p,q}</math>
 
これは、(1.5)と等しい。よって、<math>(AB)C=A(BC)</math>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　#
 
 
165 ⟶ 167行目:
 
===単位行列===
<math>A=(a_{i,jij})</math> に対して、成分<math>a_{k,kkk}, ~k=1,\cdots,n</math>を、<math>n</math>次正方行列<math>A</math>の'''対角成分'''（diagonal element）という。
 
行列の対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるような正方行列
<math>E =\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}</math>を'''単位行列'''（elementary　matrix、あるいはidentity matrix）といい、<math>E_n</math>や<math>I_n</math>と表す。<math>n</math>が明らかである場合にはしばしば省略して、<math>E</math>や<math>I</math>と表すこともある。
 
==行列の演算の性質==
<math>A,B,C</math>を任意の<math>(m,n)</math>行列 、<math>\lambda, \mu</math>を任意の定数、<math>0</math>を零行列、<math>E</math>を単位行列とすると、以下の関係が成り立つ。
#結合法則: <math>(A+B)+C=A+(B+C)</math>
#交換法則: <math>A+B=B+A</math>
192 ⟶ 194行目:
 
== 転置行列 ==
[[画像:Matrix transpose.gif|200px|right]]
 
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,111} & a_{1,212} & \cdots & a_{1,n1n}\\
a_{2,121} & a_{2,222} & \cdots & a_{2,n2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1m1} & a_{m,2m2} & \cdots & a_{m,nmn}
\end{pmatrix}</math> に対して
:<math>\begin{pmatrix}
a_{1,111} & a_{2,121} & \cdots & a_{m,1m1}\\
a_{1,212} & a_{2,222} & \cdots & a_{m,2m2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1,n1n} & a_{2,n2n} & \cdots & a_{m,nmn}\\
\end{pmatrix}</math>
をAの'''転置行列'''（transposed matrix）と言い、<math>A^T</math>や<math>^tA</math>と表す。
 
つまり<math>^tA</math>とは、<math>A</math>の縦横をひっくり返した行列である。
244 ⟶ 247行目:
 
::(1)<math>\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-2 & -1 & 1\\
1 & 2 & -3\\
2 & 0 & 3\\
\end{pmatrix}</math>
 
::(2)<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
3\\
4\\
\end{pmatrix}</math>
 
::(3)<math>\begin{pmatrix}
1 & i\\
-i & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1-i & 0\\
0 & 1+i\\
\end{pmatrix}</math>
 
::(4)<math>\begin{pmatrix}
2 & 1+i & 3i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
1+i\\
-3i\\
\end{pmatrix}</math>
 
289 ⟶ 292行目:
 
:<math>E_n=(\delta_{i,j})</math>, <math>\delta_{i,j}=\begin{cases}
1(i=j)\\
0(i\neq j)
\end{cases}</math>
 
296 ⟶ 299行目:
 
::(1)<math>A=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
-2 & -4\\
\end{pmatrix}</math>のとき、AX=E<sub>2</sub>を満たすXは存在しない
 
::(2)<math>B=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}</math>の時、(1)の定義で、BX=AとなるXが存在しない。
 
316 ⟶ 319行目:
 
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 0\\
2 & 1 & 3 & 2\\
1 & 2 & 3 & 4\\
\end{pmatrix}</math>は、
 
<math>A_1=\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1\\
2 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}</math>,　
<math>A_2=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
\end{pmatrix}</math>
 
<math>A_3=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}</math>,　
<math>A_4=\begin{pmatrix}
4\\
\end{pmatrix}</math>
 
340 ⟶ 343行目:
 
<math>A=\begin{pmatrix}
A_1 & A_2\\
A_3 & A_4\\
\end{pmatrix}</math>
 
351 ⟶ 354行目:
 
<math>A=\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} & \cdots & A_{1,q}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \cdots & A_{2,q}\\
A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} & \cdots & A_{3,q}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & A_{p,3} & \cdots & A_{p,q}\\
\end{pmatrix}</math>
 
366 ⟶ 369行目:
 
<math>A=\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} & \cdots & A_{1,q}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \cdots & A_{2,q}\\
A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} & \cdots & A_{3,q}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \cdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & A_{p,3} & \cdots & A_{p,q}\\
\end{pmatrix}</math>,　
<math>B=\begin{pmatrix}
B_{1,1} & B_{1,2} & B_{1,3} & \cdots & B_{1,r}\\
B_{2,1} & B_{2,2} & B_{2,3} & \cdots & B_{2,r}\\
B_{3,1} & B_{3,2} & B_{3,3} & \cdots & B_{3,r}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
B_{q,1} & B_{q,2} & B_{q,3} & \cdots & B_{q,r}\\
\end{pmatrix}</math>
 
<math>C=AB=\begin{pmatrix}
C_{1,1} & C_{1,2} & C_{1,3} & \cdots & C_{1,r}\\
C_{2,1} & C_{2,2} & C_{2,3} & \cdots & C_{2,r}\\
C_{3,1} & C_{3,2} & C_{3,3} & \cdots & C_{3,r}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
C_{p,1} & C_{p,2} & C_{p,3} & \cdots & C_{p,r}\\
\end{pmatrix}</math>
 
421 ⟶ 424行目:
 
:p=q=r=2とすると、<math>\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2}\\
A_{2,1} & A_{2,2}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_{1,1} & B_{1,2}\\
B_{2,1} & B_{2,2}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
A_{1,1}B_{1,1}+A_{1,2}B_{2,1} & A_{1,1}B_{1,2}+A_{1,2}B_{2,2}\\
A_{2,1}B_{1,1}+A_{2,2}B_{2,1} & A_{2,1}B_{1,2}+A_{2,2}B_{2,2}\\
\end{pmatrix}</math>　　　　　(2.4)
 
435 ⟶ 438行目:
 
:<math>\begin{pmatrix}
A_{1,1}B_{1,1} & A_{1,1}B_{1,2}+A_{1,2}B_{2,2}\\
O & +A_{2,2}B_{2,2}\\
\end{pmatrix}</math>
 
442 ⟶ 445行目:
 
:<math>\begin{pmatrix}
A_{1,1}B_{1,1} & O\\
O & +A_{2,2}B_{2,2}\\
\end{pmatrix}</math>
 
474 ⟶ 477行目:
 
(1)<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & -2 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 3\\
\end{pmatrix}</math>
 
(2)<math>\begin{pmatrix}
2i & 0 & 0\\
0 & -i & 0\\
0 & 0 & 3i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}(i=\sqrt{-1})</math>
 
529 ⟶ 532行目:
 
<math>A=\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2}\\
O & A_{2,2}\\
\end{pmatrix}</math>
 
540 ⟶ 543行目:
 
A=(A<sub>i,j</sub>)で、(i,j=1,2,...n)<math>A_{i,j}=\begin{cases}
A_i(i=j)\\
O
\end{cases}</math>ならば、Aが正則である必要十分条件は、A<sub>i</sub>がすべて正則である事である」
 
547 ⟶ 550行目:
 
<math>A^{-1}=\begin{cases}
A_i^{-1}(i=j)\\
O
\end{cases}</math>
 
554 ⟶ 557行目:
 
<math>A^{-1}=\begin{pmatrix}
A_{1,1}^{-1} & -A_{1,1}^{-1}A_{1,2}A^{-1}_{2,2}\\
O & A_{2,2}^{-1}
\end{pmatrix}</math>である。
 
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