「線型代数学/固有値と固有ベクトル」の版間の差分

行列<math>A = \bigl( \begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr)</math>の固有値と固有ベクトルを求める。右の図はこの行列によって引き起こされる変換を示している。この行列<math>A</math>の固有値と固有ベクトルを求める。

=\lambda^2 -4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3)=0</math>

よりなので、方程式<math>(\lambda-1)(\lambda-3)=0</math>を解いて、行列<math>A</math>の固有値は1と3である。

次に固有ベクトルを求める。固有ベクトルを求めるには、<math>(A-\lambda I)\mathbb x = 0</math>を満たすベクトル<math>\mathbb x</math>を求めれば良い。

<math>\lambda = 1</math>に対応する固有ベクトルを求めるには、<math>(A-I=\lambdabegin{pmatrix} I)1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>であることから、<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbb x = 0</math>を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは<math>\mathbb x = \binom{1}{-1}</math>を求め及び、これば良いを任意の定数倍したものである。

<math>\lambda = 13</math>に対応する固有ベクトルは、<math>(A-I)3I= \mathbbbegin{pmatrix} x-1 =& 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math>であることから、<math>\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbb x = 0</math>よりを満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは<math>\mathbb x = \binom{1}{-1}</math>及び、これを任意の定数倍したものである。