「線型代数学/計量ベクトル空間」の版間の差分

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==基底の直交化==
 
==== 正規直交系 ====
計量ベクトル空間<math>V</math>のベクトル<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>が互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、<math>(x_i,x_j) = \begin{cases} 1& (i=j) \\0 & (i\neq j) \end{cases}</math>であるとき、ベクトル<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>は'''正規直交系'''(orthonormal system)であるという。
 
==== 正規直交基底 ====
計量ベクトル空間<math>V</math>の正規直交系<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>が、<math>\left \langle x_1,x_2,\cdots,x_n \right \rangle = V</math>であるとき、<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>は、'''正規直交基底'''(orthonormal system)であるという。
 
==== グラム・シュミットの直交化法 ====
[[ファイル:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|サムネイル]]
計量ベクトル空間<math>V</math>の線形独立なベクトル<math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>を使って正規直交系を作ることができる。
 
<math>\begin{align}
\boldsymbol u_1 &= \boldsymbol v_1
\\
\boldsymbol u_2 &= \boldsymbol v_2 - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_2)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)} \boldsymbol u_1
\\
\boldsymbol u_3 &= \boldsymbol v_3 - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_3)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)}\boldsymbol u_1 - \frac{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_3)}{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2)} \boldsymbol u_2
\\
&\vdots
\\
\boldsymbol u_n &= \boldsymbol v_n - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)} \boldsymbol u_1
- \frac{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2)} \boldsymbol u_2
- \dotsb - \frac{(\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol u_{n-1})} \boldsymbol u_{n-1}\\
\end{align}</math>
 
とすると、<math>u_1,u_2,\cdots,u_n</math>は互いに直行するベクトルとなる。
 
<math>e_i = \frac{u_i}{||u_i||}</math>とすると、<math>e_1,e_2,\cdots,e_n</math>は正規直交系となる。
 
これをグラムシュミットの直交化法という。
 
==種々の特徴的な変換==
===随伴変換===
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