「数学演習/数学III/微分法/解答」の版間の差分

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誤りの修正など
21 行
:<math>\lim_{h \to +0} \frac{|h|}{h} = 1</math>、<math>\lim_{h \to -0} \frac{|h|}{h} = -1</math>
 
この2式は等しくないので、<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}</math>、すなわち、<math>x = -1</math>の導関における微分係数は存在しない。故に、示された。
 
===微分の計算の基本===
37 行
 
===色々な微分の計算===
(3)では加法定理により分解してから求める。(6)は対数微分法を用いた方が圧倒的に速い(商の微分でも出来ないことはないがかなり面倒)。(10)はやや程度が高いか
 
:(1) <math>f'(x) = \cos(x^2-3) \cdot (x^2-3)' = 2x\cos(x^2-3)</math>
 
:(2) <math>f'(x) = -\sin(\sqrt{4x-3}) \cdot (\sqrt{4x-3})'=-\frac{2\sin(\sqrt{4x-3})}{\sqrt{4x-3}}</math>
 
:(3) <math>f(x) = \frac{1}{2}(\sqrt{3}\cos x+\sin x)</math>より、<math>f'(x) = \frac{1}{2}(\cos x-\sqrt{3}\sin x) = \sin \left(x+\frac{\pi}{63}-x \right)</math>
 
:(4) <math>f'(x) = 2\frac{2x}{log|x^2}|</math>なので、<math>f'(x) = \frac{2}{x}</math>
 
:(5) <math>f'(x) = \frac{(\sin x)'}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}</math>
57 行
:(7) <math>f'(x) = (2x+1)'e^{2x+1}=2e^{2x+1}</math>
 
:(8) <math>f'(x) =(x^2)'2^{x^2} \log 2=2^{x^2+1}x\log x2</math>
 
:(9) <math>f'(x) = \frac{2x\log x-x^2 \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{(2\log x-1)x}{(\log x)^2}</math>
 
:(10) <math>f'(x) = \frac{1}{2}(\sqrt{\frac{log|2x^2-1}{|-\log|2x+1|)</math>なので、<math>f'(x)=\frac{1}{2}} \cdot \left( \sqrt{\frac{4x}{2x^2-1}-\frac{2}{2x+1} } \right)' = \frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x^2-1}} \cdot -\frac{2x^2+2x+1}{(2x+1)\sqrt{2x+1}\sqrt{2x^2-1}} = \frac{2x^2+2x+1}{(2x+^2-1)(2x^2-+1)}</math>
 
===第n次導関数===
74 行
::<math>f'''(x) = -2\sin x-\sin x-x\cos x=-3\sin x-x\cos x</math>
 
:(3) <math>f'(x) = \frac{2x \cdot (x+1)-(x^2+1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}</math>
::<math>f''(x) = \frac{(2x+1-2) \cdot (x+1)^2{-(x^2+2x-1) \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} '= \frac{4}{(x+1)^3}</math>
::<math>f'''(x) = \frac{0-(4 \cdot 3(x+1)^2{-3}{(x+1)^6} '= -\frac{12}{(x+1)^4}</math>
 
===陰関数の導関数===
両辺を<math>x</math>で微分すると、<math>x</math>はそのまま微分されて<math>y</math>は指数が1つ下がり係数がついた後、後ろに<math>\frac{dy}{dx}</math>がつく。これについて解けばよい。
<ref>答えに<math>y</math>が含まれるが、そもそもこれについて解けない場合が多いので、これを消去しようとする必要はない。</ref>
 
:(1) <math>2y\frac{dy}{dx} = 4 \iff</math>より、<math> \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}</math>
 
:(2) <math>\frac{x}{8}+\frac{2}{9}y\frac{dy}{dx} = 0 \iff</math>より、<math> \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{16y}</math>
 
:(3) <math>2x+4y+4x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx} = 0 \iff</math>より、<math> x+2y+(2x+y)\frac{dy}{dx} = 0 \iff</math>なので、<math> \frac{dy}{dx} = -\frac{x+2y}{2x+y}</math>
 
==脚注==