「高等学校数学II/微分・積分の考え」の版間の差分

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K.ito (トーク | 投稿記録)
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\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2 -1 }{x-1} = 2
</math>と求めることができる。
 
 
※発展 最初の例では、<math>x</math>を、<math>1,0.1,0.01,0.001,\cdots</math>と、限りなく0に近づけたが、<math>2,0.2,0.02,0.002,\cdots</math>や、<math>-1,-0.1,-0.01,-0.001,\cdots</math>のように近づけてみても<math>x</math>は限りなく0に近づく。他にも、<math>1,-0.1,0.01,-0.001,\cdots</math>や<math>0.1,0.5,0.01,0.05,\cdots</math>など<math>x</math>を0に近づかせる方法はいくらでも考えられる。
 
もちろん、この例では、<math>x</math>をどのように近づけたとしても極限の値は変わらない。
 
しかし、<math>x</math>を、<math>1,0.1,0.01,0.001,\cdots</math>と近づけたとき、<math>f(x)</math>は<math>\alpha</math>に近づくが、<math>x</math>を、<math>2,0.2,0.02,0.002,\cdots</math>と近づけたら、<math>f(x)</math>は<math>\alpha</math>に近づかない。そんな関数<math>f(x)</math>だってあるだろう。
 
なぜ<math>x</math>を<math>1,0.1,0.01,0.001,\cdots</math>と、近づけただけで、極限の値を求めることが出来るのか?と疑問に思う人もいるかも知れない。
 
極限を厳密に定義するには、[[解析学基礎/極限#極限の形式的な定義|イプシロンデルタ論法]]を使う必要がある。しかし、高校生には少し難しいと考える人が多いので高校ではあまり教えられていない。
 
なので、この本では、イプシロンデルタ論法を使わず、曖昧な方法で極限を定義した。なので、上のような疑問を持った人は、その疑問について深く考えずに先に進むか、[[解析学基礎/極限#極限の形式的な定義|イプシロンデルタ論法]]を学ぶかしてほしい。
 
=== 微分係数と導関数 ===