2021年1月29日 (金) 11:14時点における版編集 Euler0117 (トーク \| 投稿記録) 260 回編集編集の要約なしタグ: 2017年版ソースエディター ← 古い編集		2021年3月9日 (火) 12:38時点における最新版編集取り消しぐしー (トーク \| 投稿記録) 2 回編集一部イタリック体になっていたsgnを修正、行列式の性質の証明の一部誤りを修正、交代性と単位行列についての記述を追加、その他体裁の調整など。
44 行 #<math>\sigma \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \sigma = e</math> ~~'''~~; 証明~~'''~~▼ ▲'''証明''' #<math>1 \le i \le n</math>に対し、<br><math>((\sigma \tau) \rho)(i) = (\sigma \tau) (\rho (i)) = \sigma (\tau (\rho (i)))</math><br><br><math>(\sigma (\tau \rho))(i) = (\sigma)(\tau \rho (i)) = \sigma (\tau (\rho (i)))</math><br><br>よって、<math>(\sigma \tau) \rho = \sigma (\tau \rho) </math>である。<br><br><br> #<math>1 \le i \le n</math>に対し、<br><math> (\sigma e)(i) = (\sigma (e(i))) = \sigma (i)</math><br><br><math> e \sigma = (e (\sigma(i))) = \sigma (i)</math><br><br>よって<math> \sigma e = e \sigma = \sigma </math>である。<br><br><br> 53 ⟶ 52行目: <math>\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots n \\ 1 & 2 & \cdots & j & \cdots & i & \cdots n \end{pmatrix}</math>のように、iとjだけを交換する置換を'''互換'''という。任意の置換は互換の積で表すことができ、互換の個数の偶奇は互換のとり方によらず、同じであるという性質がある。置換を互換の積で表したとき、互換の個数が偶数個の置換を'''偶置換'''、奇数個の置換を'''奇置換'''という。 ~~'''~~; 証明~~'''~~▼ ▲'''証明''' === 符号=== <math> \~~operatorname{~~sgn} (\sigma) = \begin{cases} 1 & \sigma \~~mbox~~text{が偶置換のとき} \\ -1 & \sigma \mbox{が奇置換のとき} \end{cases}\ </math> を <math>\sigma</math> の'''符号'''という。 ==行列式== 行列式は、▼ 行列 <math> 81 ⟶ 76行目: <math> \|A\| = \det A = \sum _{\sigma \in S_n} \~~operatorname{~~sgn} (\sigma) a _{1, \sigma (1)} \cdots a _{n, \sigma (n)} </math> をAの行列式という。 ※ <math>\sum _{\sigma \in S_n}</math> とは、<math>\sigma</math> に <math>S_n</math> の元をすべて代入して足し合わせろという意味である。<br> たとえば、<math>A=\{1,2,3\}</math> のとき、<math>\sum_{i \in A}</math> と、 <math>\sum_{i=1}^{3}</math> は、同じ意味である。 96 ⟶ 91行目: \end{pmatrix} </math>の行列式を求めてみよう。<br> 行列式の定義に当てはめると、<math> \|A\| = \sum _{\sigma \in S_2} \sgn (\sigma) a _{1, \sigma (1)} a _{n, \sigma (2)}</math> である。<br> <math>S_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right\},\ \sgn \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1,\ \sgn \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -1</math>~~であり、~~<br> であるから行列式は <math>ad-bc</math> である。▼ ~~<math>sgn \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1, sgn \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -1</math><br>~~ ~~つまり行列式は、~~ ▲<math>ad-bc</math>である。 ▲3次の行列式では、 3次の行列式では、▼ <math> \det A = 114 ⟶ 105行目: g & h & i \\ \end{vmatrix} ~~</math>~~ ~~<math>~~ = aei + bfg + cdh - afh - bdi -ceg </math> となる。これは、「Sarrus(サラス)の展開」または「Sarrusの方法」、「たすきがけの法」と呼ぶものであり、斜めに数を掛け合わせていったものに等しいことに注意。▼ ~~例えば、第1項<math>aei</math>は、1行1列のaから、3行3列の<math>i</math>までを右下に向かって~~ ~~順に書けていったものに等しい。また、次のbfgは、1行2列のbから始めて、~~ ~~右下に向かってかけ算していったものに等しい。2行3列のfのあとは~~ ~~端を突き抜けて、3行1列の<math>g</math>にいたることに注意。~~ 4から6番目の項は、右下に向かってではなく左下に向かって▼ ~~書けていった値となり同時にかけ算した値に(-1)をかける必要がある。~~ [[File:Schema sarrus-regel.png\|alt=\|thumb\|サラスの方法: 左三列の行列式は、赤線で結んだ斜め三項の積の和から青線で結んだ逆斜め三項の積の和を引いたものになる。]] ▲これは、「Sarrus(サラス)の展開」または「Sarrusの方法」、「たすきがけの法」と呼ぶものであり、右図のように斜めに数を~~掛け合わせていっ~~乗じたもの~~に等しい~~の和と考えること~~に注意~~ができる。例えば、第1項 <math>aei</math> は、1行1列の <math>a</math> から、3行3列の <math>i</math> までを右下に向かって順に乗じたものに等しい。また、次の <math>bfg</math> は、1行2列の <math>b</math> から始めて、右下に向かって順に乗じたものに等しい。2行3列の <math>f</math> の次は端を突き抜けて、3行1列の <math>g</math> に至る。第3項も同様である。 ▲4から6番目の項は、右下に向かってではなく左下（右図では右上）に向かって乗じて、符号を反転したものである。 <math>4 \times 4</math> 以降の行列ではこのような簡単な計算法は得られない。項の数は <math>n \times n</math> 行列では、 <math>n!</math> 個~~となり~~であるため、大きな行列について計算機を使わ~~ないでの~~ずに行列式を計算するのは困難になである。▼ ~~得られない。~~ ▲項の数は <math>n * n</math>行列では、<math>n!</math> 個となり、計算機を使わないでの計算は困難になる。 ===行列式の基本性質===▼ 行列式について成り立つ性質のうち、以下の4つは基本的である。 ▲===行列式の性質=== ~~行列式について、以下の性質が成り立つ。~~ #<math>\begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,ji} + a_{1,ji}' & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,ji} + a_{n,ji}' & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,ji} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,ji} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,ji}' & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,ji}' & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} </math> #<math>\begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & c a_{1,ji} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & c a_{n,ji} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,ji} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,ji} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} </math> #<math>\begin{vmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,i} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,i} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,i} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}</math> ▲3次#単位行列の行列式では、1。 1. と 2. の性質を合わせて「列についての'''多重線型性'''」という。3. の性質は「列についての'''交代性'''」という。一般に任意の正方行列 <math>A</math> について<math>\|A\|=\|{}^t\!A\|</math> であるから、これらの性質は行についても成り立つ。 ~~'''~~; 証明~~'''~~▼ #<math>\~~sum _~~sum_{\sigma \in S_n} \sgn (\sigma) ~~a _~~a_{1, \sigma (1)} \cdots c (a_{i,~~j} \cdots a _{n,~~ \sigma (ni)} =+ ~~c \sum _~~a_{~~\sigma \in S_n} sgn \sigma a _{1~~i, \sigma (1i)}') \cdots a_~~{i,j} \cdots a _~~{n, \sigma (n)}~~</math>よって証明された。~~▼ = \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)} + \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)}' \cdots a_{n,\sigma(n)})</math><br><math> = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)} + \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)}' \cdots a_{n,\sigma(n)}.</math> よって証明された。 #<math>\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots c a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = c \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)}.</math> よって証明された。 # n次の置換 <math>\sigma</math> に <math>i,j</math> の互換を合成した置換を <math>\tau</math> とする。このとき <math>\sigma(i)=\tau(j),\ \sigma(j)=\tau(i),\ \sigma(k)=\tau(k)\ (k\neq i,j)</math> である。もし <math>\sigma</math> が奇置換であれば <math>\tau</math> は偶置換、<math>\sigma</math> が偶置換であれば <math>\tau</math> は奇置換であるから <math>\sgn(\tau) = - \sgn(\sigma)</math> である。ゆえに<br><math> \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{j,\sigma(j)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = \sum_{\tau \in S_n} (- \sgn(\tau)) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{i,\tau(j)} \cdots a_{j,\tau(i)} \cdots a_{n,\tau(n)}</math><br><math> = - \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{i,\tau(i)} \cdots a_{j,\tau(j)} \cdots a_{n,\tau(n)}.</math> よって証明された。 # 行列式を計算すると、対角成分の積の項が1、それ以外の項は0になることから直ちに得られる。 : (転置についての不変性)　任意の置換とその逆置換について符号は等しいから、<math>\tau = \sigma^{-1}</math> として以下のように示される。 :: <math>\|{}^t\!A\| = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma^{-1}) a_{1,\sigma^{-1}(1)} \cdots a_{n,\sigma^{-1}(n)} = \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{n,\tau(n)} = \|A\|.</math> 任意の正方行列に対してある実数を対応付ける作用のうち、この4つの性質を全て満たすのは行列式だけであり、この性質を定義として行列式を導出できる。 ▲'''証明''' #<math>\sum _{\sigma \in S_n} sgn \sigma a _{1, \sigma (1)} \cdots (a_{i,j} + a_{i,j}') \cdots a _{n, \sigma (n)} = \sum _{\sigma \in S_n} (sgn \sigma a _{1, \sigma (1)} \cdots a_{i,j} \cdots a _{n, \sigma (n)} + sgn \sigma a _{1, \sigma (1)} \cdots a_{i,j}' \cdots a _{n, \sigma (n)})</math><br><math>= \sum _{\sigma \in S_n} sgn \sigma a _{1, \sigma (1)} \cdots a_{i,j} \cdots a _{n, \sigma (n)} + \sum _{\sigma \in S_n} sgn \sigma a _{1, \sigma (1)} \cdots a_{i,j}' \cdots a _{n, \sigma (n)}</math>よって証明された。 ▲#<math>\sum _{\sigma \in S_n} sgn \sigma a _{1, \sigma (1)} \cdots c a_{i,j} \cdots a _{n, \sigma (n)} = c \sum _{\sigma \in S_n} sgn \sigma a _{1, \sigma (1)} \cdots a_{i,j} \cdots a _{n, \sigma (n)}</math>よって証明された。 {{ナビゲーション\|本=[[線型代数学]]\|前ページ=[[線型代数学/線型方程式の解\|線型方程式の解]]\|ページ名=行列式\|次ページ=[[線形代数学/余因子行列\|余因子行列]]}} [[Category:線形代数学\|きようれつしき]]

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