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「旧課程(2013年度-2021年度)高等学校数学I/数と式」の版間の差分

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73 行
; 例題
 
* (例題1)
 
<math>\begin{align}
231 行
分母を有理化せよ。
 
# 　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} </math>
# 　<math>\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}} </math>
 
* 解答
 
# 　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \ = \ \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \ = \ \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \ = \ \frac{\sqrt{6}}{6}</math>
# 　<math>\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}} \ = \ \frac{(\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2} - \sqrt{3})(3 \sqrt{2} + \sqrt{3})} \ = \ \frac{6+ \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} +6}{(3 \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \ = \ \frac{12 + 7 \sqrt{6}}{18-3} \ = \ \frac{12 + 7 \sqrt{6}}{15}</math>
 
304 行
 
「 27 は自然数の集合の要素である」といえる。
例
7以下の自然数の集合の要素は、1と2と3と4と5と6と7 である。
（※ 範囲外？ ）なお、数学的には、区別がはっきりしさえすれば、例えば「△△高校の今の3年B組の生徒全員」等も集合として考えることができる。かならずしも「集合」とは「自然数」や「整数」などの数でなくてもいい。
 
481 行
 
補集合について、次のことが成り立つ。
A∩<span style="text-decoration: overline">A</span>＝φ , 　　A∪<span style="text-decoration: overline">A</span>＝U , 　　<math>\overline{ (\overline{ A }) }</math> ＝A　
 
; ド・モルガンの法則<ref>[[ファイル:AugustusDeMorgan.png|サムネイル|ド・モルガン]]
533 行
 
===== 命題と条件 =====
====== 命題 ======
（数学的に）正しいかどうかを明確に判断できる主張を'''命題'''（めいだい、英: proposition）と呼ぶ。 例えば、「7は素数である」は命題の例である。 （一方、「5000は大きい数である」などは命題とはならない。なぜなら「大きい」という言葉の判断が主観的なものであり、判断に明確な基準が設定できないからである。）▼
数学的に正しいかどうかを明確に判断できる主張を'''命題'''（めいだい、英: proposition）と呼ぶ。
 
ある命題が明確に正しい（と証明される）とき、その命題は'''真'''（しん、英：truth）: truth）であると呼ぶ。(たとえば、命題「7は素数である」は真である。) 命題が真でないとき、命題は'''偽'''（ぎ、英：false）: false）であると言う。たとえば、命題 「 もし <math>x^2 = 4</math> であれば <math>x = 2</math> である。 」 は、偽の命題である。 この方程式は<math>x = -2</math>も解に持つ。
例;
* 命題「7は素数である」は真である。
* 命題「11は偶数である」は偽である。
▲（数学的に）正しいかどうかを明確に判断できる主張を'''命題'''（めいだい、英:* proposition）と呼ぶ。 例えば、「7は素数である」は命題の例である。 （一方、「5000は大きい数である」などは命題とではならない。なぜなら「大きい」という言葉の判断が主観的なものであり、判断に明確な基準が設定できないからである。）
 
上の命題「"実数<math>x^2 = 4</math>ならばについて、<math>x^2 - 4 = 20</math>である"。」はのように、<math>x = -2</math>もあてはまるので偽値になよった。 命題<math>\rm p \Rightarrow q</math>がて真偽であの定まるときは主張を、<math>px</math>は満たすが<math>q</math>を満たさない例が存在に関する。そのような例を'''反例条件'''（はんれい）という。'''命題が偽であることを示すには、反例を1つあげればよい。'''
 
====== ならば ======
命題は、「pならばqである」の形式で書かれる場合が多い。
条件<math>p,q</math>について、<math>p</math>が真のとき、必ず<math>q</math>が真となるとき<math>p</math>ならば<math>q</math>といい、<math> p \Rightarrow q</math>とかく。このとき、条件<math>p</math>を'''仮定'''（assumption）、条件<math>q</math>を'''結論'''と呼ぶ。
これを表にすると以下のようになる。
{|class="wikitable" style="text-align:center"
: !p!!q!!<math> \rm p \Rightarrow q </math>▼
|-
|真||真||'''真'''
|-
|真||偽||'''偽'''
|-
|偽||真||'''真'''
|-
|偽||偽||'''真'''
|}
 
また、<math>p</math>が偽であるとき、<math>p \Rightarrow q</math>は無条件で真となる。なぜ？と思うかもしれないが、とっても自然なことである。たとえば、「エヌ氏が新宿にいる　ならば　エヌ氏は東京にいる」という命題について考える。エヌ氏が新宿にいるとき、「エヌ氏は新宿にいる」は真であり、「エヌ氏は東京にいる」も真であるので、「エヌ氏が新宿にいる　ならば　エヌ氏は東京にいる」は真である。次に、エヌ氏が渋谷にいるとき、「エヌ氏は新宿にいる」は偽であるが、「エヌ氏は東京にいる」は真である。最後に、エヌ氏が京都市にいるとき、「エヌ氏は新宿にいる」は偽であり、「エヌ氏は東京にいる」も偽である。
「 pならばqである」という命題を、記号「<math>\Rightarrow</math>」を用いて
しかし、エヌ氏が渋谷や京都市にいるとき、仮定は偽であるが、「エヌ氏が新宿にいる　ならば　エヌ氏は東京にいる」という命題は正しい。
 
;例
▲: <math> \rm p \Rightarrow q </math>
 
と書く。
 
命題「<math>x^2 = 4</math>ならば<math>x = 2</math>である」は<math>x = -2</math>もあてはまるので偽である。 命題<math>\rm p \Rightarrow q</math>が偽であるときは、<math>p</math>は満たすが<math>q</math>を満たさない例が存在するときである。そのような例を'''反例'''（はんれい）という。'''命題が偽であることを示すには、反例を1つあげればよい。'''
また、この条件pをこの命題の'''仮定'''（かてい、英：assumption）といい、条件qをこの命題の'''結論'''（けつろん）と呼ぶ。
 
* 問題
579 ⟶ 596行目:
==== 必要条件と十分条件 ====
[[ファイル:必要条件と十分条件.svg|サムネイル]]
2つの条件 <math>p,q</math> について、命題「p⇒q」<math>p\Rightarrow q</math>が真であるとき、
 
: <math>q</math>は<math>p</math>であるための '''必要条件'''であるという。<math>p</math>が成り立つためには、まず、<math>q</math>が成り立つことが必要という意味だ。
: pはqであるための '''十分条件''' （じゅうぶん じょうけん）である
: <math>p</math>は<math>q</math>であるための '''十分条件'''であるという。<math>q</math>が成り立つには、<math>p</math>が成り立てば十分という意味だ。
: qはpであるための '''必要条件''' （ひつよう じょうけん）である
 
2つの条件 p.,q について、▼
という。
 
命題「p⇒q」<math>p\Rightarrow q</math>と命題「q⇒p」<math>q\Rightarrow p</math>の両方とも真であるとき、これを▼
▲2つの条件 p.q について、
 
▲命題「p⇒q」と命題「q⇒p」の両方とも真であるとき、これを
 
: <math>\rm p \Longleftrightarrow q</math>
594 ⟶ 609行目:
と書き、
 
: pはqであるための'''必要十分条件'''である。または、pとqは同値であるという。
 
という。
 
このとき、pとqを入れ替えることで、
602 ⟶ 615行目:
: qはpであるための必要十分条件である
 
ともいえることがわかる。
 
;例
エヌ氏が新宿にいる　ならば　エヌ氏は東京にいる　という命題を考える。
 
エヌ氏が新宿にいるためには、まず、エヌ氏が東京にいる必要があるので、エヌ氏が東京にいることは、エヌ氏が新宿にいるための必要条件であるといえる。
 
エヌ氏が東京にいることを示すには、エヌ氏が新宿にいることを示せば十分なので、エヌ氏が新宿にいることは、エヌ氏が東京にいるための十分条件であるといえる。
 
<math>\rm p \Longleftrightarrow q</math> であるとき、pとqは「'''同値'''（どうち）である」という。
 
==== 「かつ」「または」と否定 ====
620 ⟶ 639行目:
 
条件を考えることは集合を考えることと同じなので、集合におけるド・モルガンの法則と同様に、条件においても、ド・モルガンの法則がなり立つ。
'''ド・モルガンの法則'''
<span style="text-decoration: overline">p またはかつ q</span> <math> \Longleftrightarrow </math> <span style="text-decoration: overline">p</span> かつまたは <span style="text-decoration: overline">q</span> ▼
<span style="text-decoration: overline">p かつまたは q</span> <math> \Longleftrightarrow </math> <span style="text-decoration: overline">p</span> またはかつ <span style="text-decoration: overline">q</span>
▲ <span style="text-decoration: overline">p または q</span> <math> \Longleftrightarrow </math> <span style="text-decoration: overline">p</span> かつ <span style="text-decoration: overline">q</span>
 
==== 逆・裏・対偶 ====
636 ⟶ 653行目:
と呼ぶ。
 
これらは、たがいに右図のような関係にある。 {{-}}
----たとえば、 もとの命題を
 
652 ⟶ 669行目:
 
このような例から、次のことが分かる。
ある命題が真であっても、その命題の逆は、かならずしも真とは限らない。
また、ある命題が真であっても、その命題の裏は、かならずしも真とは限らない。
では、もとの命題と対偶との関係は、どうなるだろうか。
[[ファイル:Sets_contraposition_diagram.svg|サムネイル]]
この考察をするため、条件pを満たすものを集合Pに対応させ、同様に条件qを満たすものを集合Qに対応させてみよう。
 
元の命題をその対偶を表にすると以下のようになる。
右の集合の図は、p⇒qが真であることを表す図である。この図では、Pに属している要素は、Qにも属している。（つまり <math>\rm P \subset Q</math>である。）一方、Qに属していいない要素は、Pにも属していない。（つまり <math>\rm \overline{Q} \subset \overline{P}</math> である。） このことからから分かるように、
{|class="wikitable" style="text-align:center"
ある命題が真であるとき、その命題の対偶も真となる。
!p!!q!!<math>p \Rightarrow q</math>!!<math>\overline{q}!!\overline{p}!!<math>\overline{q} \Rightarrow \overline{p}</math>
ある命題が偽であるとき、その対偶も偽である。
|-
つまり、一般の命題において、もとの命題と対偶との真偽は一致する。▼
|真||真||'''真'''||偽||偽||真
|-
|真||偽||'''偽'''||真||偽||偽
|-
|偽||真||'''真'''||偽||真||真
|-
|偽||偽||'''真'''||真||真||真
|}
▲つまり、一般この命題表からわかるようにおいて、もと元の命題とその対偶との真偽は一致する。
;例
「エヌ氏が新宿にいる　ならば　エヌ氏は東京にいる」という命題の対偶は、「エヌ氏が東京にいない　ならば　エヌ氏は新宿にいない」である。
 
==== 背理法 ====
1,312 ⟶ 1,337行目:
 
==== 連立不等式 ====
いくつかの不等式を組み合わせたものを'''連立不等式'''といい、これらの不等式を同時に満たす<math>x</math>の値の範囲を求めることを、連立不等式を'''解く'''という。
 
* 問題例
1,364 ⟶ 1,389行目:
絶対値を含む不等式について考えよう。
 
絶対値<math>|x|</math>は、数直線上で、原点<math>\mathrm{O}</math>と点<math>\mathrm{P} (x)</math>の間の距離を表している。
 
したがって、<math>a>0</math>のとき
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