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「圏論/代数系/古典的代数系」の版間の差分

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[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を持ち, また <math>G</math> のすべての元が[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]を持つとき <math>G</math> は'''群'''であるという.<ref><small>
 
[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]の公理に要請する条件としては <math>ae=a</math>…① かつ <math>aa^{-1}=e</math>…② で十分である．<br />
②の <math>aea^{-1}</math> に対して②を 再度適用すれば、<math>aaa^{-1}(a^{-1})^{-1} = e</math> の…③を満たす <math>(a^{-1})^{-1}</math> に代入して,も群 <math>ae(ae)^{-1}=eG</math> の要素に含まれる．<br />
よって <math>aeea = aeae (\because</math> より①<math>)</math><br />
<math>aea = eaa^{-1}=e(a^{-1})^{-1} (\because </math> ③ <math>)</math><br />
<math>a = ee(eaa^{-1})=e^{-1} (\because </math>② <math>)</math><br />
<math> = e(a^{-1})^{-1} (\because </math>① <math>)</math><br />
これと <math>aa^{-1}=e</math> の辺々を比べて <math>ea^{-1}=a^{-1}</math><br /> すなわち <math>ea=a</math> と[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]の公式の残り半分が導出される．<br />▼
また，<math> = aa^{-1}=e</math>(a^{-1})^{-1} を(\because <math>ae=a</math> に代入して② <math> aa^{-1}e = e)</math><br />
a を右からかけて <math>aa^{-1}ea = eaae (\because </math>②・③ <math>)</math><br />
先に導出した <math>ea = a (\because </math> より① <math>a(a^{-1}a)=a</math><br />
▲これと <math>aa^{-1}=e</math> の辺々を比べて <math>ea^{-1}=a^{-1}</math><br /> すなわち <math>ea=a</math> と[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]の公式の残り半分が導出される．<br />
これと <math>ae=a</math> の辺々を比べて <math>a^{-1}a=e</math><br />
また，<math>a^{-1}a = a^{-1}ae (\because</math> ① <math>)</math><br />
と[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]の公式の残り半分が導出される．▼
<math> = a^{-1}aa^{-1}(a^{-1})^{-1} (\because </math>③<math>)</math><br />
<math> = a^{-1}e(a^{-1})^{-1} (\because </math>②<math>)</math><br />
<math> = a^{-1}(a^{-1})^{-1} (\because </math>①<math>)</math><br />
<math> = e (\because </math>②・③<math>)</math><br />
▲すなわち <math>a^{-1}a=e</math> と[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]の公式の残り半分が導出される．<br />
</small></ref>
 
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